Merenja u hidrotehnici

Dusan Prodanovi\'c

Contents

3  (2) Osnovne karakteristike velicina
    3.1  Klasifikacija podataka dobijenih merenjem
    3.2  Deterministicke velicine
        3.2.1  Sinusne periodicne velicine
        3.2.2  Slozene periodicne velicine
        3.2.3  Priblizno periodicne velicine
        3.2.4  Prelazne neperiodicne velicine
    3.3  Stohasticke velicine
        3.3.1  Provera ustaljenosti slucajnog procesa
        3.3.2  Ergodicnost slucajnog procesa
        3.3.3  Ostali osnovni pokazatelji slucajnih procesa
            3.3.3.1  Srednja vrednost i fluktuacioni deo
            3.3.3.2  Srednja vrednost kvadrata
            3.3.3.3  Koren kvadrata srednje vrednosti
            3.3.3.4  Varijansa
            3.3.3.5  Standardna devijacija
            3.3.3.6  Funkcija gustine verovatno\'ce
            3.3.3.7  Autokorelaciona funkcija
            3.3.3.8  Funkcija spektralne gustine
    3.4  Zbirne osobine slucajnih velicina
        3.4.1  Funkcije koje definisu zbirne osobine
            3.4.1.1  Funkcija zbirne gustine verovatno\'ce
            3.4.1.2  Funkcija zbirne raspodele verovatno\'ce
            3.4.1.3  Kroskorelaciona funkcija
            3.4.1.4  Krosspektralna funkcija
        3.4.2  Primeri analize zbirnih osobina

List of Figures

    3.1  Razdvajanje merne velicine φ na srednju vrednost i fluktuacioni dodatak
    3.2  Isticanje iz rezervoara sa konstantnim nivoom
    3.3  Nivo i brzina u izlaznoj cevi, pri isticanju iz rezervoara sa konstantnim nivoom
    3.4  Nivo i brzina u izlaznoj cevi, pri isticanju iz rezervoara gde je povrsina vode pod uticajem vetra koji formira pravilne talase
    3.5  Nivo i brzina u izlaznoj cevi, pri isticanju iz rezervoara bez dotoka vode pa nivo u rezervoaru pada kroz vreme
    3.6  Dispozicija KCS Usé
    3.7  Rezultati merenja protoka u periodu 8 feb. 2009 do 17 feb 2009.
    3.8  Rezultati merenja protoka 17 feb 2009.
    3.9  Rezultati merenja protoka 23 feb 2009.
    3.10  Klasifikacija deterministickih velicina
    3.11  Sinusna periodicna velicina, prikaz u vremenskom domenu
    3.12  Sinusna periodicna velicina, prikaz u frekventnom domenu
    3.13  Slozena periodicna velicina, prikaz u vremenskom domenu
    3.14  Slozena periodicna velicina, prikaz u frekventnom domenu
    3.15  Skica vibracije ustave
    3.16  Hidraulicki udar u cevi sa i bez odvojka, pri zanemarenom trenju
    3.17  Priblizno periodicna velicina, prikaz u frekventnom domenu
    3.18  Nivo vode pri praznjenju rezervoara kao primer prelazne neperiodicne velicine
    3.19  Pokazivanje termometra kada se sa temperature T1 naglo izlozi temperaturi T2, kao primer prelazne neperiodicne pojave
    3.20  Superpozicija prelazne neperiodicne i slozene periodicne pojave
    3.21  Primeri kontinualnog spektra pojedinih prelaznih neperiodicnih velicina
    3.22  Termicki sum otpornika kao primer slucajne velicine
    3.23  Klasifikacija slucajnih velicina
    3.24  Kontinualni zapis promene velicine φ kroz vreme
    3.25  Podela kontinualnog zapisa na vise zasebnih uzoraka
    3.26  Vremenski pomereni zasebni uzorci, tako da svi pocinju istog trenutka
    3.27  Direktno merenje srednje vrednosti velicine φ analognim putem i hidraulicki ekvivalent mernog sistema
    3.28  Demonstracija u MathLab-u direktnog merenja srednje vrednosti velicine φ
    3.29  Analogno merenje efektivne vrednosti velicine φ je dosta komplikovanije
    3.30  Demonstracija direktnog merenja srednje vrednosti i efektivne vrednosti velicine φ, kao i proracuna na osnovu merenja osciloskopom
    3.31  Intervali u kojima se promenljiva velicina nalazi izmedju φ i φ+∆Φ
    3.32  Gustina verovatno\'ce p(φ) i funkcija raspodele verovatno\'ce (sumarna verovatno\'ca) P(φ) za promenljivu φ(t)
    3.33  Primeri nekih signala φ(t) i odgovaraju\'cih funkcija gustine verovatno\'ce p(φ)
    3.34  Merna velicina φ u dva trenutka: t i t+τ
    3.35  Autokorelacija signala datih u primeru na slici 3.33
    3.36  Proracun funkcije spektralne gustine
    3.37  Spektralna gustina signala datih u primeru na slici 3.33
    3.38  Traze se periodi kada su istovremeno funkcije φ u intervalu φ, φ+ ∆φ i funkcija ψ u intervalu ψ, ψ+ ∆ψ
    3.39  Zvonasti oblik krive zbirne gustine verovatno\'ce
    3.40  Kroskorelaciona analiza stepena prigusenja svetla prilikom prolaska kroz tok vode, kao nacin odredjivanja brzine vode
    3.41  Odredjivanje transfer funkcije cevi merenjem prostiranja fluktuacija pritisaka i krosspektralnom analizom

Chapter 3
Osnovne karakteristike fizickih velicina



3.1  Klasifikacija podataka dobijenih merenjem



Ve\'cina mernih velicina se moze razdvojiti na komponentu koja je kroz jedan period vremena istovetna (stalna) i drugu koja pokazuje razliku do trenutne vrednosti:
φ =
φ
 
 +φ′( t )
gde je ―φ srednja vrednost, ali samo za period od t1 do t2 (u nekom drugom, duzem, periodu se moze menjati), a φ′(t) fluktuacije.


Figure 3.1: Razdvajanje merne velicine φ na srednju vrednost i fluktuacioni dodatak
../SlikePng/Karvel01.png


Srednja vrednost moze biti konstantna ili da sledi poznatu zavisnost.
Fluktuacije mogu biti unapred poznate, prema nekoj zavisnosti (sinusnoj, na primer) ili slucajne.


Primer: Posmatra se rezervoar sa isticanjem i tri slucaja: kada je nivo vode u rezervoaru konstantan, kada nivo osciluje prema sinusnoj zavisnosti i kada nivo konstantno pada.
  1. U prvom slucaju dotok je isti kao isticanje, pa je nivo u rezervoaru konstantan.


    Figure 3.2: Isticanje iz rezervoara sa konstantnim nivoom
    ../SlikePng/Karvel02.png
    • Meri se HN ( t ) i UA ( t ) .
    • Tecenje u cevi je turbulentno (Reynolds-ov broj Re>>2500).
    • Koriste se sonde za brzinu i nivo koje registruju brze promene.
    Dobijaju se rezultati kao na slici 3.3:


    Figure 3.3: Nivo i brzina u izlaznoj cevi, pri isticanju iz rezervoara sa konstantnim nivoom
    ../SlikePng/Karvel03.png


  2. U drugom slucaju, ako se nivo vode u rezervoaru izlozi vetru konstantne brzine, formira\'ce se talasi koji \'ce uticati i na brzinu u tacki A.


    Figure 3.4: Nivo i brzina u izlaznoj cevi, pri isticanju iz rezervoara gde je povrsina vode pod uticajem vetra koji formira pravilne talase
    ../SlikePng/Karvel04.png
    Primer periodicnih oscilacija: nivo u rezervoaru, odnosno fluktuacije nivoa, HN′( t ) mozemo da racunamo, prate analiticku zavisnost, imaju deterministicki karakter (slika 3.4 levo).


    Na deterministicki sinusni oblik signala brzine vode u cevi (koji malo kasni u odnosu na nivo), medjutim, dodata je i stohasticka komponenta (slika 3.4 desno) koja je posledica turbulencije i neujednacenosti duvanja vetra.




  3. U tre\'cem slucaju naglo prestane dotok u rezervoar, pa nivo pocinje postepeno da se smanjuje. Ovakav slucaj se naziva prelazna pojava.


    Figure 3.5: Nivo i brzina u izlaznoj cevi, pri isticanju iz rezervoara bez dotoka vode pa nivo u rezervoaru pada kroz vreme
    ../SlikePng/Karvel05.png
    Na levom delu slike 3.5 je prikazan slucaj gde pad nivoa u rezervoaru odgovara onome sto se moze sracunati primenom osnovnih jednacina Hidraulike, pojava je deterministicka. Na desnom delu slike 3.5 je osnovnom deterministickom signalu superponirana slucajna, stohasticka komponenta (obratiti paznju na to da \'ce se zajedno sa brzinom smanjivati i Reynolds-ov broj, pa \'ce u odredjenom trenutku tecenje postati laminarno - nesta\'ce stohasticka komponenta brzine).


Iz primera se vidi da postoje dve osnovne grupe u koje se mogu klasifikovati podaci dobijeni merenjima:
  1. Deterministicka (predodredjena) - podaci slede neku analiticku zavisnost, samo je treba spoznati!
  2. Stohasticka (slucajna) - ne postoji analiticki aparat kojim se mogu tacno predvideti rezultati merenja - mora se koristiti racun verovatno\'ce.


Granice koje dele te dve grupe nisu konstantne, nepromenljive. Isti proces koji je do juce bio stohasticki, prosirivanjem naseg znanja o fenomenima koji uticu na taj proces, moze postati deterministicki 1.


Cesto se radi i obrnuto: mogu\'ce je da smo nekada i u stanju da deterministicki obradimo neke podatke, ali da nas interesuje samo glavni trend fenomena, pa sve ono sto nam smeta pripisemo slucajnosti.


Naravno, u realnosti se uglavnom sre\'cu situacije gde su i deteministicka komponenta i stohasticka komponenta prisutne. Primer: merenje protoka i nivoa na ulazu u KCS Us\'ce:
Figure 3.6: Dispozicija KCS Usé
../SlikePng/UsceCS.png
Na ulazu u crpiliste je postavljen sistem za merenje protoka, koji meri brzine na levom i desnom boku dovodnog kolektora i nivo u crpnom bazenu. Ako se pogleda dijagram izmerenih protoka u nekom intervalu, moze se pogresno zakljuciti da je stohastiska komponenta velika:
Figure 3.7: Rezultati merenja protoka u periodu 8 feb. 2009 do 17 feb 2009.
../SlikePng/UsceProtokMnogo.png
Medjutim, ako se zumira samo poslednji dan, i ako se nacrtaju nivoi u crpnom bazenu, mogu se lepo uociti periodi kada rade pumpe i kada su iskljucene, sto cini determinsticku komponentu varijacije protoka. Stohasticka komponenta su samo fluktuacije protoka oko srednje vrednosti.
Figure 3.8: Rezultati merenja protoka 17 feb 2009.
../SlikePng/UsceNivoProtok.png





Po nekada se uzrok velikih varijacija u protoku ne zna u napred. Pogresno bi bilo odmah ih pripisati "stohastici", ve\'c treba prvo analizirati merni sistem i sve uticaje. Na primer, na slede\'coj slici je dat protok na dovodnom cevovodu u rezervoar "Duge", u Vrnjackoj Banji (februar 2009.). Protok je meren elektromagnetnim merilom, koji zahteva tecenje kroz cev sa punim profilom (pod pritiskom).
Figure 3.9: Rezultati merenja protoka 23 feb 2009.
../SlikePng/VBanja-Duge-Q.png
Pregledom dijagrama, vidi se da se protok u roku od par sekundi smanjuje sa 100 L/s na 0L/s i opet vra\'ca na istu vrednost. Takve promene bi mogle da ukazu na slede\'ce: Naravno, ovo su samo pretpostavke - neophodno je pogledati lokalne uslove na mernom mestu i onda do\'ci do finalnog zakljucka. VAZNO: Dobro bi doslo da se zna i pritisak na mestu ugradnje uredjaja (kao redundantni podatak).





3.2  Deterministicke velicine



Figure 3.10: Klasifikacija deterministickih velicina
../SlikePng/KlasifikacijaDeterministickihVelicina.png
Na slici 3.10 je data sematski podela deterministickih velicina. U nastavku teksta se svaka od velicina detaljnije obradjuje.


3.2.1  Sinusne periodicne velicine



Sinusne periodicne velicine definisane su matematicki sa:
φ( t ) = φ0+Φsin( 2πf0 t + Θ)
(3.1)
gde je:
φ( t ) - trenutna vrednost,
φ0 - konstantna vrednost i ne zavisi od vremena (odnosno, srednja vrednost),
Φ - amplituda, odstojanje od srednje vrednosti do maksimuma
f0=[1/(T0)] [ Hz] frekvencija2 a vreme T0 [sec] perioda oscilacija i
Θ [rad] - pocetni fazni ugao ili kasnjenje sinusoide td=[(Θ)/(2πf0)].


Figure 3.11: Sinusna periodicna velicina, prikaz u vremenskom domenu
../SlikePng/Karvel07.png
Figure 3.12: Sinusna periodicna velicina, prikaz u frekventnom domenu
../SlikePng/Karvel08.png
Graficki, velicina φ( t ) se moze predstaviti kroz vreme (slika 3.11), ili u formi diskretnog spektra, kao zavisnost amplitude signala od frekvencije (slika 3.12).


Pomocu MatLab demo programa "sigdemo1" (program treba preuzeti sa ovog LINKA , staviti u radni direktorijum MatLab-a i otkucati u radnom okruzenju >> sigdemo1 <return>) moguc je prikaz tri vrste periodicnih velicina u vremenskom i frekventnom domenu. Pomocu ovog programa se moze videti spektar sinusoide (teorijski je to kao na slici 3.12 samo jedna sinusoida frekvencije N gde je N zadati broj perioda, ali se nakon FFT transformacije dobija kontinualan spektar, koji je uzi ako se lepse pripreme podaci za proracun primenom nekog od "prozora") kao i spektri kvadratnog i testerastog signala (dobijaju se kao zbir niza sinusoida cije su frekvencije u odnosu 1:3:5:7... sa oscilujucim ili opadajucim intenzitetom). Takodje, moze se videti uticaj prozora kojim se "zaobljavaju" krajevi serije sa kojom se ulazi u FFT (Fast Fourier Transform) proracun cime se smanjuje uticaj suma nastao usled naglog prekida serije na njenom pocetku i kraju.


Vazno: U nastavku teksta \'ce se ravnopravno koristiti prikaz signala u vremenskom domenu kao i prikaz u frekventnom domenu: uces\'ce (zbirovi) sinusoida odredjene frekvencije u formiranju ukupne vremenske serije.


Primeri sinusnih periodicnih velicina:
  1. oscilacija klatna,
  2. oscilacija tecnosti u U cevi,
  3. hidraulicki udar kod zanemarenog trenja,
  4. ...


3.2.2  Slozene periodicne velicine



Slozena periodicna velicina je ona velicina koja se moze opisati vremenskim funkcijama i ciji se oblik tacno ponavlja u pravilnim vremenskim intervalima Tp kao na slici 3.13:

φ( t ) = φ( t ±n Tp )
Figure 3.13: Slozena periodicna velicina, prikaz u vremenskom domenu
../SlikePng/f1+f3.png
NAPOMENA: Za prikaz razlicitih signala, zbir dva signala i njihovu furijeovu transformaciju kao i auto i kros korelaciju, mozete koristiti MatLab program FURIJE - preuzmite sa sajta ZIP file RazniSignali.zip i raspakujte .M i .FIG fileove u isti direktorijum.
Ekran programa na kome se vidi zbir dve sinusoide frekvencija f i 3f (cetvrtka je u stvari zbir sinusoida frekvencija f, 3f, 5f, 7f...)


U crtanju slozene periodicne krive (C) na slici 3.13 koris\'cene su dve sinusne periodicne krive (A) i (B), cije frekvencije stoje u odnosu 1:3 a amplitude 1:0.6.


U opstem slucaju, slozena periodicna velicina se moze predstaviti kao konacna suma sinusnih oscilacija, datih jednacinom 3.1:
φ( t ) = Φ0 + ∞
∑
n=1 
 Φn cos( 2 πn f1 t − Θn )
(3.2)

n = 1,2, …, k
pri cemu frekvencije svih oscilacija f1, f2, ... fn moraju biti celobrojni umnosci osnovne frekvencije f1.


U izrazu 3.2 je:
Φ0 - ustaljena komponenta signala (srednja vrednost),
Φn - amplituda (ili, koristi se i izraz "magnituda") svake od sinusnih oscilacija frekvencije n f1,
Θn - fazni ugao, od 0 do 2π [rad] ("kasnjenje" svake od sinusoida).


U Matematici se uci da se bilo koja funkcija moze razviti u Furijeov red, odnosno u zbir sinusnih i kosinusnih funkcija:
φ( t ) = a0
2
 + ∞
∑
n=1 
 ( an cos2 πn f1 t + bn sin2 πn f1 )
(3.3)
U izrazu je f1 = [1/(Tp)] osnovna (fundamentalna) frekvencija ponavljanja funkcije (ili slozenog signala), a an i bn su koeficijenti koji se racunaju prema slede\'cem:

an = 2
Tp
 ⌠
⌡ 		Tp

0 
 φ( t ) cos2 πn f1 t dt

bn = 2
Tp
 ⌠
⌡ 		Tp

0 
 φ( t ) sin2 πn f1 t dt

n = 1,2, …, k


Ako se napravi Furijeova transformacija slozene periodicne funkcije date na slici 3.13, dobi\'ce se izraz koji je slican izrazu 3.2. Mogu\'ce je uspostaviti slede\'ce veze:
Φ0 = [(a0)/2] je ustaljena komponenta signala (srednja vrednost),
Φn = √{an2 + bn2} je magnituda n-te sinusoide,
Θn = arctan( [(bn)/(an)] ) je fazni ugao n-te sinusoide.


Na osnovu izraza 3.2, odnosno razlaganjem u Furijeov red, slozena periodicna pojava se predstavlja kao zbir staticke komponente Φ0 i konacan broj sinusnih komponenti, harmonika, amplitude Φn i faznog ugla Θn , uz uslov da su frekvencije svih harmonika celobrojni umnosci fundamentalne frekvencije f1.


Ako bi se polazni primer crtao u formi diskretnog spektra3, dobio bi se dijagram kao na slici 3.14.
Figure 3.14: Slozena periodicna velicina, prikaz u frekventnom domenu
../SlikePng/Karvel10.png





Primer: Ako je slozena periodicna pojava zbir sinusoida frekvencija 60, 75 i 100 Hz, koja je osnovna (fundamentalna) frekvencija pojave i koji clanovi diskretnog spektra su razliciti od nule?








  1. Fundamentalna frekvencija je najve\'ci zajednicki delilac - za 60, 75 i 100 to je 5 Hz (Tp = [1/5]=0.2 sec)
  2. Samo clanovi reda sa n=12, 15, i 20 su razliciti od 0


Gde se javlja ovakvo sabiranje razlicitih frekvencija?
Na primer, kod vibracije ustave, ... 3.15.
Figure 3.15: Skica vibracije ustave
../SlikePng/Karvel11.png





Pitanje: Da li se merenjem fluktuacija pritiska u slucaju zanemarenog trenja i sa bocnim odvojkom na cevi dobija slozena periodicna velicina?





Figure 3.16: Hidraulicki udar u cevi sa i bez odvojka, pri zanemarenom trenju
../SlikePng/Hudar-periodicnost.png





Odgovor na pitanje vodi ka priblizno periodicnim velicinama....


3.2.3  Priblizno periodicne velicine

Ako odnosi svih mogu\'cih harmonika formiraju racionalne brojeve, uvek postoji fundamentalna frekvencija f1, pa je velicina periodicna.
Ako barem jedan od odnosa nije racionalan broj (f1=2, f2=3, f3=√{50} , pa [2/(√{50})] nije racionalan broj), f1 ≈ 0 odnosno Tp (osnovna perioda ponavljanja) tezi ∞, pa se kaze da slozena velicina ima skoro periodican karakter.


I za priblizno periodicne velicine se moze izvrsiti Furijeova transformacija i nacrtati diskretan spektar kao na slici 3.17.
Figure 3.17: Priblizno periodicna velicina, prikaz u frekventnom domenu
../SlikePng/Karvel12.png


3.2.4  Prelazne neperiodicne velicine

Brojni su primeri prelaznih pojava (ili tranzijenata). Ve\'c je dat primer rezervoara koji se prazni (slika 3.18), ili termometar koji se naglo premesti sa temperature T1 na T2 (slika 3.19).
Figure 3.18: Nivo vode pri praznjenju rezervoara kao primer prelazne neperiodicne velicine
../SlikePng/Karvel13.png
Figure 3.19: Pokazivanje termometra kada se sa temperature T1 naglo izlozi temperaturi T2, kao primer prelazne neperiodicne pojave
../SlikePng/Karvel14.png
Analiticki, prelazna neperiodicna velicina se moze izraziti:
φ( t ) = C e−at    za t > 0


Cest slucaj je superpozicija prelazne i slozene periodicne velicine (slika 3.20). Primeri su:
  1. hidraulicki udar, vodostan,
  2. oscilacije grede,
  3. ...
Analiticki, takva velicina se moze izraziti kao proizvod prelazne i periodicne velicine:
φ( t ) = C1 e−at cosC2 t    za t ≥ 0
Figure 3.20: Superpozicija prelazne neperiodicne i slozene periodicne pojave
../SlikePng/Karvel15.png


Vazna karakteristika prelaznih velicina je da se ne mogu prikazati diskretnim spektrom (suma pojedinih sinusoida), ve\'c mogu samo kontinualnim (integral), na osnovu Furijeove transformacije:
Φ( f ) = ⌠
⌡ 		∞

−∞ 
 φ( t ) e−i2πft dt
gde je Φ( f ) kontinualan spektar koji je kompleksan broj i koji se moze razdvojiti na magnitudu |Φ( f )| (ili, kako se jos naziva i poteg) i fazni ugao Θ( f ) (ili, argument):

Φ( f ) = |Φ( f )| e−iΘ( f )
Figure 3.21: Primeri kontinualnog spektra pojedinih prelaznih neperiodicnih velicina
../SlikePng/Karvel16.png


Primeri signala i njihovog spektra koris\'cenjem MatLab Furije.m programa (poglavlje 3.2.2):





3.3  Stohasticke velicine



Stohasticke velicine su one koje pri svakom ponovljenom merenju (snimanju) daju drugaciji oblik signala, pa se ne mogu predvideti u nekom budu\'cem trenutku niti se mogu izraziti matematicki.


Primer:
  1. fluktuacije pritisaka, brzina, protoka (Fluktuacije protoka na KCS Usce),
  2. sum u eteru (Sum i njegov spektar),
  3. termicki sum otpornika 4
Figure 3.22: Termicki sum otpornika kao primer slucajne velicine
../SlikePng/Karvel17.png
S obzirom na stohasticnost, u analizi se koristi matematicka statistika. Bitno je prvo prepoznati kojoj grupi pojava neka velicina pripada, jer se primenjuju razliciti statisticki aparati.
Figure 3.23: Klasifikacija slucajnih velicina
../SlikePng/Karvel18.png


3.3.1  Provera ustaljenosti slucajnog procesa



Posmatra se rezultat merenja neke velicine φ kroz vreme (slika 3.24).
Figure 3.24: Kontinualni zapis promene velicine φ kroz vreme
../SlikePng/Karvel19.png


Duzina vremena posmatranja zavisi od karaktera posmatrane velicine i treba je odrediti iz analize prethodnih merenja. Primer: vremenski dijagram sirovog signala, iz poglavlja 2.2. Koliko dugo treba osrednjavati signal???


Mogu\'ca su dva pristupa:
  1. kontinualni zapis mozemo ise\'ci na vise kra\'cih zasebnih uzoraka, kao na slici 3.25, cime smo dobili skup uzoraka {φ(t)} (sa viticastim zagradama se obelezava ceo skup), ili
  2. mozemo N puta ponoviti merenje u istim uslovima.


Figure 3.25: Podela kontinualnog zapisa na vise zasebnih uzoraka
../SlikePng/Karvel20.png
Sve rezultate merenja ("iseckan" dugacak niz ili visestruko merenje) mozemo presloziti (nacrtati) tako da pocinju od istog trenutka (slika 3.25).
Figure 3.26: Vremenski pomereni zasebni uzorci, tako da svi pocinju istog trenutka
../SlikePng/Karvel21.png
Za tako dobijene (ili preslozene) rezultate merenja mozemo racunati statisticke pokazatelje u vremenu (t) kroz ceo skup {φ(t)}.
Ako se srednja vrednost μφ ( t1 ) ne menja sa izborom vremena t1, odnosno μφ ( t1 ) = μφ i ako autokorelaciona funkcija Rφ ( t1, t1+ τ) zavisi samo od vremenskog pomaka τ, odnosno Rφ ( t1, t1+ τ) = Rφ ( τ) takav proces je blago ustaljen5.
Za strogo ustaljen proces6 neophodno je i da svi staticki momenti ne zavise od izbora vremenskog trenutka mn ( t1 ) = mn


3.3.2  Ergodicnost slucajnog procesa



U testu ustaljenosti racunate su statistike od svih uzoraka φk ( t ) skupa {φ(t)} u istim vremenskim trenucima.


Za test ergodicnosti analiziraju se zasebni uzorci i racunaju njihove statistike:
Ako je proces ustaljen i ako se srednje vrednosti i autokorelaciona funkcija ne menjaju od jednog do drugog uzorka (k=1,2, …N) onda je slucajan proces ergodican.


Posledica: Moze se analizirati samo jedan, k-ti uzorak, a ne ceo skup!


Ako se ne potvrdi ergodicnost, proces je:


3.3.3  Ostali osnovni pokazatelji slucajnih procesa



Na dalje se smatra da je proces ergodican pa se analizira samo jedan uzorak. Za takav uzorak, daju se osnovni pokazatelji slucajnih procesa.


3.3.3.1  Srednja vrednost i fluktuacioni deo

Ve\'c je definisana srednja vrednost kao:
φ
 
 =
lim
T → ∞ 
 1
T
 ⌠
⌡ 		T

0 
 φk ( t ) dt
Ako je ―φ ≠ 0 zgodno je polazni niz napisati u obliku:
φ(t) =
φ
 
 + φ′(t)
gde je sada ―φ′(t) = 0 .


3.3.3.2  Srednja vrednost kvadrata


φ2
 
 =
lim
T → ∞ 
 1
T
 ⌠
⌡ 		T

0 
 φ2 ( t ) dt


3.3.3.3  Koren kvadrata srednje vrednosti


φeff = RMS =   ⎛
√
φ2
 
gde je RMS skra\'cenica od Root Mean Square, sto je jednako efektivnoj vrednosti signala.


3.3.3.4  Varijansa


σφ2 =
lim
T → ∞ 
 1
T
 ⌠
⌡ 		T

0 
 ⎛
⎝ 		φ(t) −
φ
 
⎞
⎠ 		2
 
 dt


Postoji veza izmedju srednje vrednosti kvadrata i varijanse. Ako se stavi φ(t) = [―φ + ( φ(t) −―φ ) ], dobija se

φ2
 
 =
φ
 
 2
 
 + σφ2
odnosno srednja vrednost kvadrata jednaka kvadratu srednje vrednosti uve\'canom za varijansu.


3.3.3.5  Standardna devijacija


σφ =
√
 
σφ2
 


Ako je srednja vrednost signala nula, tada je efektivna vrednost signala (RMS) jednaka standardnoj devijaciji:

φeff = σφ    za   
φ
 
 = 0





Figure 3.27: Direktno merenje srednje vrednosti velicine φ analognim putem i hidraulicki ekvivalent mernog sistema
../SlikePng/Karvel22.png
Nacin kako se mogu meriti ―φ i φeff analognim putem prikazan je na slici 3.27.
Potrebno je tako odabrati C - odnosno vremensku konstantu, da dobijemo osrednjavanje u periodu koji zelimo.
Figure 3.28: Demonstracija u MathLab-u direktnog merenja srednje vrednosti velicine φ
../SlikePng/Karvel23.png
Merenje efektivne vrednosti velicine φ je analognim instrumentima prilicno komplikovano, pa su takvi uredjaji po pravilu dosta skupi.
Figure 3.29: Analogno merenje efektivne vrednosti velicine φ je dosta komplikovanije
../SlikePng/Karvel24.png
Figure 3.30: Demonstracija direktnog merenja srednje vrednosti i efektivne vrednosti velicine φ, kao i proracuna na osnovu merenja osciloskopom
../SlikePng/Karvel25.png


3.3.3.6  Funkcija gustine verovatno\'ce



Definicija: Funkcija gustine verovatno\'ce7 stohastickih velicina daje verovatno\'cu da \'ce se velicina na\'ci u definisanom opsegu vrednosti u bilo kom trenutku. Naziva se jos i Funkcija amplitudske raspodele.


Figure 3.31: Intervali u kojima se promenljiva velicina nalazi izmedju φ i φ+∆Φ
../SlikePng/Karvel26.png
Vreme u kome je signal u opsegu φ, φ+ ∆φ:
Tφ = K
∑
i=1 
 ∆ti
Verovatno\'ca da signal bude u opsegu φ, φ+ ∆φ:
P ( φ, φ+ ∆φ) = Tφ
T
Pa je funkcija gustine verovatno\'ce:
p ( φ) =
lim
∆φ→ 0 
 P ( φ, φ+∆φ)
∆φ
 =
lim
T → ∞ 
 Tφ
T


Da bi se dobila verovatno\'ca da \'ce neka velicina biti ve\'ca od odredjene vrednosti, treba funkciju gustine integrisati:

P ( φ) = p [ φ( t ) ≤ φ] = ⌠
⌡ 		φ

−∞ 
 p ( φ) d φ
gde je P (φ) funkcija raspodele verovatno\'ce (ili sumarna verovatno\'ca), i ima vrednost u opsegu 0 ≤ P ( φ) ≤ 1 .


Figure 3.32: Gustina verovatno\'ce p(φ) i funkcija raspodele verovatno\'ce (sumarna verovatno\'ca) P(φ) za promenljivu φ(t)
../SlikePng/Karvel27.png


Na osnovu funkcije raspodele verovatno\'ce, moze se odrediti verovatno\'ca da \'ce merena velicina φ biti unutar opsega φ1 , φ2 :

P ( φ2 ) − P ( φ1 ) = ⌠
⌡ 		φ2

φ1 
 p ( φ) d φ


Srednja vrednost se moze racunati:

φ
 
 = ⌠
⌡ 		∞

−∞ 
 φp ( φ) d φ


Srednja vrednost kvadrata se moze racunati:

φ2
 
 = ⌠
⌡ 		∞

−∞ 
 φ2 p ( φ) d φ


Primer: upotreba gustine verovatno\'ce


Figure 3.33: Primeri nekih signala φ(t) i odgovaraju\'cih funkcija gustine verovatno\'ce p(φ)
../SlikePng/Karvel28.png
Na slici 3.33 su dati primeri nekih signala sa odgovaraju\'cim funkcijama gustine verovatno\'ce. Iz primera se vidi jedna od osnovnih primena funkcije gustine verovatno\'ce - da se proveri postojanje periodicnih signala unutar suma, kao i postojanje drugih nelinearnih efekata8.


3.3.3.7  Autokorelaciona funkcija



Autokorelaciona funkcija daje podatak o "brzini" signala kao i o tome u kojoj je meri signal periodican (slika 3.34). Drugim recima, autokorelacijom se proverava periodicnost signala, sa kojim vremenom τ se odredjeni "patern" periodicno ponavlja unutar signala.


Figure 3.34: Merna velicina φ u dva trenutka: t i t+τ
../SlikePng/Karvel29.png

Rφ ( τ) =
lim
T → ∞ 
 1
T
 ⌠
⌡ 		T

0 
 φ( t ) φ( t + τ) dt
Rφ ( τ) je uvek parna funkcija sa maksimumom u τ = 0

Rφ ( −τ)=Rφ ( τ)

φ
 
 =
√
 
Rφ ( ∞)
 

Rφ ( τ = 0 ) =
φ2
 
 +
φ
 
 2
 
Ako je uklonjena srednja vrednost ―φ = 0 , tada je (slika 3.35):
Rφ ( τ = 0 ) = φ2 = φef2


Primer: Autokorelacione analize za signale date na slici 3.33


Figure 3.35: Autokorelacija signala datih u primeru na slici 3.33
../SlikePng/Karvel30.png
Na slici 3.35 je dat rezultat autokorelacione analize za signale date na slici 3.33. Komentar ...


(Autokorelacija, kao i kroskorelacija 3.4.1.3, spada u red konvolutivnih funkcija . U knjizi The Scientists and Engineer's Guide to Digital Signal Processing - Steven Smith - se moze na\'ci lep opis konvolucije i korelacije, poglavlje 7, strana 136 (link ne radi na Internet prezentaciji).)

3.3.3.8  Funkcija spektralne gustine



Funkcija spektralne gustine pokazuje frekventni sadrzaj slucajne merne velicine.


Vrednost funkcije spektralne gustine u intervalu ( f, f+ ∆f ) je jednaka srednjoj vrednosti kvadrata posmatrane fizicke velicine φ koja se nalazi u tom intervalu φ( t, f, ∆f ) (slika 3.36).


Figure 3.36: Proracun funkcije spektralne gustine
../SlikePng/Karvel31.png


Spektralna gustina je Sφ(f) ≈ [(―φ2 ( t, f, ∆f ))/(∆f)] , odnosno preciznije:

Sφ(f) =
lim
∆f → 0 
 1
T
 ⎡
⎣
lim
T → ∞ 
 1
T
 ⌠
⌡ 		T

0 
 φ2 ( t, f, ∆f ) dt ⎤
⎦


Osnovna primena: pokazuje energetski sadrzaj signala po delovima frekvencije, odnosno u turbulenciji pokazuje koje velicine vrtloga nose vise energije.


Figure 3.37: Spektralna gustina signala datih u primeru na slici 3.33
../SlikePng/Karvel32.png


Vazna osobina spektralne gustine je da je srednja vrednost kvadrata (poglavlje 3.3.3.2) vremenske serije jednaka integralu (povrsini ispod) spektralne gustine:

φ2
 
 = ⌠
⌡ 		∞

0 
 Sφ ( f ) df


Za ustaljene procese postoji veza sa autokorelacionom funkcijom:

Sφ ( f ) = 2 ⌠
⌡ 		∞

−∞ 
 Rφ ( τ) cos2 πf τd τ = 4 ⌠
⌡ 		∞

0 
 Rφ ( τ) cos2 πf τd τ
sto predstavlja Furijeovu transformaciju autokorelacione funkcije.


3.4  Zbirne osobine slucajnih velicina



Do sada opisanim statistickim metodama se mogu analizirati podaci iz pojedinih slucajnih procesa. Medjutim, cesto nas interesuju relacije izmedju dva ili vise slucajnih procesa - na primer:


U nastavku \'ce se dati prikaz funkcija koje definisu zbirne osobine slucajnih procesa.
(Slaba mi podela na poglavlja - ovde imam samo jedan subsection)


3.4.1  Funkcije koje definisu zbirne osobine



3.4.1.1  Funkcija zbirne gustine verovatno\'ce



Definicija: Izrazava se verovatno\'ca da se vrednost prve velicine φ nalazi u unapred definisanom intervalu izmedju φ i φ+ ∆φ, a da se istovremeno vrednost druge velicine nalazi u drugom, unapred definisanom intervalu izmedju ψ i ψ+ ∆ψ.


Figure 3.38: Traze se periodi kada su istovremeno funkcije φ u intervalu φ, φ+ ∆φ i funkcija ψ u intervalu ψ, ψ+ ∆ψ
../SlikePng/Karvel33.png

p (φ, ψ) =
lim
∆φ,∆ψ→ 0 
 1
∆φ∆ψ
 ⎡
⎣
lim
T→∞ 
 Tφψ
T
⎤
⎦
Ako su velicine φ i ψ nezavisne, tada je p ( φ, ψ) = p( φ) p( ψ) .
Figure 3.39: Zvonasti oblik krive zbirne gustine verovatno\'ce
../SlikePng/Karvel34.png
Oblik krive je zvonast sa tim sto moze biti izduzen u φ ili ψ pravcu ako je to dominantan pravac kretanja (slika 3.39).


3.4.1.2  Funkcija zbirne raspodele verovatno\'ce



Definise verovatno\'cu da su trenutne vrednosti φ(t) i ψ(t) manje ili jednake unapred definisanim vrednostima φ i ψ:

P ( φ, ψ) = p [ φ( t ) ≤ φ, ψ( t ) ≤ ψ] = ⌠
⌡ 		φ

−∞ 
 ⌠
⌡ 		ψ

−∞ 
 p ( φ, ψ) d φd ψ


Primer: proracun sile na dno slapista.


3.4.1.3  Kroskorelaciona funkcija



Definise vezu izmedju jedne fizicke velicine φ u trenutku t i druge velicine ψ u trenutku t + τ.

Rφψ =
lim
t → ∞ 
 1
T
 ⌠
⌡ 		T

0 
 φ( t ) ψ( t + τ) dt


Pomo\'cu kros korelacione funkcije se odredjuje stepen medjuzavisnosti dve slucajne velicine. Pogledati komentar o vezi korelacije i konvolucije pri kraju poglavlja 3.3.3.7.


Ako je ―φ = 0 i ―ψ = 0 i ako su nezavisne, tada je Rφψ = 0 za sve vrednosti τ ( slika 3.40).


Figure 3.40: Kroskorelaciona analiza stepena prigusenja svetla prilikom prolaska kroz tok vode, kao nacin odredjivanja brzine vode
../SlikePng/Karvel35.png
Primer: merenje brzine vode - moglo bi da se napravi u laboratoriji!


3.4.1.4  Krosspektralna funkcija



Kao sto se spektralna funkcija dobija Furijeovom transformacijom korelacione funkcije, tako je krosspektralna funkcija Furijeova transformacija kroskorelacije. Posto kroskorelacija nije parna (simetricna) funkcija, sledi da je krosspektar kompleksna funkcija:

Sφψ = | Sφψ ( f ) | e−i Θφψ ( f )
Vazi relacija:

| Sφψ ( f ) |2 ≤ Sφ ( f ) Sψ ( f )
pa je odnos jednak:

| Sφψ ( f ) |2
Sφ ( f ) Sψ ( f )
 = γφψ2 ≤ 1.0
gde je γφψ2 funkcija koherencije.
Za γφψ2 = 0 za sve frekvencije, tada su φ( t ) i ψ( t ) staticki nezavisni.


Primena: najces\'ce za odredjivanje transfer funkcije (slika 3.41).

H ( f ) = Sφψ( f )
Sφ( f )
(jos da se izbistri u finalnoj verziji teksta)
(PAZI NA OVO: B & Piersol, I knjiga Page: 33 i 25. Tu je nesto jos uvek MUTNO!!!)
Figure 3.41: Odredjivanje transfer funkcije cevi merenjem prostiranja fluktuacija pritisaka i krosspektralnom analizom
../SlikePng/Karvel36.png


3.4.2  Primeri analize zbirnih osobina



Nije pricano na predavanjima, samo je receno o odredjivanju sile na ploce u slapistu, moze i primer optere\'cenja od vetra - slaganje pulzacija pritiska.

Bibliography

[1]
Ackers, P., W.R. White, J.A. Perkins i A.J.M. Harrison. (1978). Weirs and Flumes for Flow Measurement. John Wiley & Sons. Chichester.
[2]
Baker, R. C (2000). Flow measurement handbook: industrial designs, operating principles, performance, and applications. Cambridge University Press.
[3]
Benedict, R.P. (1969). Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements. John Wiley & Sons. New York.
[4]
Boros, A. (1985). Electrical Measurements in Engineering. Akadémiai kiadó. Budapest.
[5]
Bos, M.G., J.A. Replogle i A.J. Clemmens. (1984). Flow Measuring Flumes for Open Channel Systems. John Wiley & Sons. New York.
[6]
Camnasio, E., E. Orsi. (2008). Experimenting with a new calibration method for current meters. 7th international conference on hydraulic efficiency measurements (IGHEM), Milano (http://www.ighem.org/IGHEM2008/home.html).
[7]
Chow, V.T. (1959). Open-channel Hydraulics. McGraw-Hill. Tokyo.
[8]
Drenthen, J.G. (1987). Accoustic Discharge Measuring Devices. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[9]
Durst, F. (1987). Discharge Measuring Methods in Pipes. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[10]
Eckelmann, H. (1987). Hot-film and Hot-wire Anemometers. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[11]
Endress, U. (1987). Vortex Shedding Flow Meters. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[12]
Fingerston, L.M. (1987). An Introduction to Laser Doppler Anemometry. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[13]
Gaji\'c, A., Lj. Krsmanovi\'c. (1994). Matematicka analiza i postupci eksperimentalnih istrazivanja. Masinski fakultet, Univerzitet u Beogradu.
[14]
Hayward, A.T.J. (1979). Flowmeters: A Basic Guide and Source-book for Users. Macmillan publishers Ltd, London.
[15]
Hajdin, G. (1977). Mehanika fluida - Knjiga prva: Osnove. Gradjevinski fakultet Beograd.
[16]
Henderson, F.M. (1966). Open Channel Flow. The Macmillan Company. New York.
[17]
Jovanovi\'c, S., O. Bonacci i M. Andjeli\'c. (1977). Hidrometrija. Gradjevinski fakultet Beograd.
[18]
Mass, H.G., A. Gruen i D. Papantoniou. (1992). Particle Tracking Velocimetry in Three Dimensional Turbulent Flows - Part I: Photogrammetric Determination of Particle Coordinates. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[19]
Maksimovi\'c, C., J. Despotovi\'c, P. Trisi\'c, M. Simi\'c. (1986). Accuracy and reliability of rainfall and runoff measurements - Examples. Urban Drainage Modelling - Supplements. Editori: C. Maksimovi\'c and M. Radojkovi\'c. Dubrovnik.
[20]
Maksimovi\'c, C. (1993). Merenja u hidrotehnici. Gradjevinski fakultet Beograd.
[21]
Malik, N.A., T. Dracos, D. Papantoniou i H.G. Maas. (1992). Particle Tracking Velocimetry in Three Dimensional Turbulent Flows - Part II: Particle Tracking and Lagrangian Trajectories. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[22]
Merzkirch, W. (1987). Methods of Flow Visualization. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[23]
Merzkirch, W. (1992). Methods of Flow Visualization. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[24]
Mettlen, D. (1987). Mass Flow Measurement. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[25]
Miller, R.W. (1983). Flow Measurement Engineering Handbook. McGraw-Hill. New York.
[26]
Müller, A. i H.G. Maas. (1992). Methods of Flow Visualization. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[27]
Nakayama, Y. i R.F. Boucher. (1999). Introduction to Fluid Mechanics. Arnold. London.
[28]
Plavsi\'c, J. (2007). Skripta za predmet Inzenjerska hidrologija. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[29]
Prodanovi\'c, D. (1985). Diplomski rad... Diplomski rad. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[30]
Prodanovi\'c, D., A. Spoljari\'c, M. Iveti\'c i C. Maksimovi\'c. (1985). Dynamic characteristics of a pressure measuring system. Symposium on Measuring Techniques in Hydraulic Research. Delft.
[31]
Prodanovi\'c, D. (1992). Eksperimentalno izucavanje uticaja dva tipa regulacionih zatvaraca na fluidnu struju. Magistarski rad. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[32]
Prodanovi\'c, D. (2007). Mehanika fluida za studente Gradevinskog fakulteta. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[33]
Patel, V.C. (1987). An Introduction to Measurement of Velocity. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[34]
Radojkovi\'c, M., D. Obradovi\'c i C. Maksimovi\'c. (1989). Primena racunara u komunalnoj hidrotehnici. Naucna knjiga. Beograd.
[35]
Rouse, H. i S. Ince. (1957). History of Hydraulics. Iowa Institute of Hydraulic Reserach. Iowa City.
[36]
Stankovi\'c, D. (1997). Fizicko tehnicka merenja: Senzori. Univerzitet u Beogradu.
[37]
Staubli, T. (1987). Propeller-type Current Meters. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[38]
Taylor, J.R. (1982). An Introduction to Error Analysis. Oxford University Press.
[39]
Utami, T. i T. Ueno. (1987). Experimental Study on the Coherent Structure of Turbulent Open-channel Flow Using Visualization and Picture Processing. Journal of Fluid Mechanics. Knjiga 174, strane 399-440.
[40]
Vojt, P. (2006). Pove\'canje tacnosti merenja nivoa vode kapacitivnom sondom sa primenom na hidraulickoj analizi vodostana sa prigusivacem. Diplomski rad. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[41]
Westerweel, J. (1992). Particle Image Velocimetry. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[42]
White, W.R. (1987). Discharge Measuring Methods in Open Channels. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.

Footnotes:

1Da ne bude zabune, prema Heisenberg-ovom principu neodredjenosti, nemogu\'ce je istovremeno znati polozaj i momenat deli\'ca, pa prema tome, nemogu\'ce je analiticki resiti turbulenciju. Naravno, sve dok neko drugi ne pronadje neki bolji princip.
2Povremeno se sre\'ce umesto reci frekvencija i rec frekfencija. Kako rec vodi poreklo od latinske reci frequentia, ispravno je re\'ci frekvencija.
3Na apscisi se crtaju samo frekvencije koje su celobrojni umnosci od f1: f2 = 3 f1. Na ordinati se crtaju amplitude Φ1 i Φ2.
4Predpostavlja se da, kada bi mogli da napravimo model kretanja svih atoma i kada bi izucili sve medjusobne uticaje, da bi sum postao deterministicki. U sve uticaje treba ukljuciti i leptira u Kini.
5Weak stationarity.
6Strong stationarity.
7U Engleskoj literaturi se naziva Probabilty Density Function, PDF.
8U analizi signala treba imati dosta iskustva!

File translated from TEX by TTHgold, version 4.00.
On 14 Mar 2012, 23:20.