Merenja u hidrotehnici

Dusan Prodanovi\'c

`"

Contents

2  (2) Analiza gresaka
    2.1  Greske i neodredjenost
    2.2  Procena neodredjenosti
    2.3  Propagacija neodredjenosti
    2.4  Statisticka analiza slucajnih neodredjenosti
    2.5  Raspodela slucajnih gresaka
    2.6  Uncertainty Assessment Methodology
    2.7  Sta jos treba...

List of Figures

    2.1  Kako stolar meri vrata
    2.2  Merenje duzine olovke
    2.3  Merenje na analognom voltmetru
    2.4  Merenje na digitalnom voltmetru
    2.5  Da li su dva merenja protoka bas ista?
    2.6  Graficki prikaz neodredjenosti
    2.7  Uporedjenje maksimalne i verovatne neodredjenosti
    2.8  Histogram rezultata merenja
    2.9  Histogram rezultata velikog broja merenja
    2.10  Kontinualni histogram - zvonasta kriva normalne raspodele
    2.11  Kriva normalne raspodele - verovatno\'ca da se pojedino merenje nadje u izabranom intervalu
    2.12  Dijagram \unhbox \voidb@x erf(t) funkcije

Chapter 2
Analiza gresaka

2.1  Greske i neodredjenost

Analiza gresaka obuhvata proucavanje i procenu neodredjenosti u merenjima. Ni jedno merenje, ma koliko se pazljivo izvodi, nije oslobodjeno neodredjenost. Potrebno je kvantifikovati neodredjenost i truditi se da bude prihvatljiva (ne mora da bude minimalna!).


Pojam greska (na engleskom: error) i pojam neodredjenost (na engleskom: uncertinaity) se uglavnom koriste kao sinonimi. Pri tome greska se cesto koristi u negativnom smislu (na engleskom se koristi i rec: mistake). U merenjima su greske neizbezne, moze se samo govoriti o prihvatljivo maloj gresci.


Figure 2.1: Kako stolar meri vrata
../SlikePng/Greske01.png
Primer neizbeznosti greske:
  1. Za kupovinu daske stolar na osnovu iskustva procenjuje visinu vrata H koja treba da napravi, kao H=210 cm. Ako treba da proceni mogu\'ci opseg prave, tacne visine, verovatno bi rekao da je od 205 cm do 215 cm, tako da pametan stolar ipak kupuje dasku > 215 cm.
  2. Za secenje daske, stolar meri H pomo\'cu metra sa milimetarskom podelom i dobija H=211.3 cm gde je H izmedju 211.25 i 211.35 cm ako je bio jako pazljiv ili je izmedju 211.2 i 211.4 cm ako je lose osvetljenje, neudobno za rad i slicno.
    Vazno je da je 1 mm tacnosti dovoljno za dobru ugradnju vrata. Ipak, iskusan stolar \'ce napraviti za 2 mm manja vrata, da bi mogao da ih "upasuje".
  3. Ako su vrata od sefa, metalna, brusena, stolar (da li se on zove stolar?) \'ce merenje sprovesti laserskim interferometrom, sa tacnos\'cu reda velicine duzine talasa svetla, l = 600 nm odnosno l = 0.0006 mm. Merenjem \'ce dobiti visinu vrata H=211.31264 cm.
    Da li je ovo sada tacna vrednost visine vrata?





    Ne! Dobijena vrednost, medjutim, ipak nije tacna visina vrata. Sada se pored neodredjenosti u merenju duzine, stolar sre\'ce i sa problemom definicije sta je visina vrata?
    Visina je definitivno rastojanje izmedju dve tacke, ali koje dve tacke i pri kojim uslovima? Merenjem na razlicitim mestima, dobijaju se razlicite vrednosti za H. Takodje, pri kojoj temperaturi treba meriti i da li vrata treba da stoje uspravno ili polozeno?


Zakljucak je da u svakom merenju treba odabrati takav merni sistem koji ima prihvatljivu ali poznatu neodredjenost.


2.2  Procena neodredjenosti

Neodredjenost treba kvantifikovati. Ako se samo kaze da je visina vrata iz prethodnog primera H=211.3 cm, a pri tome se ne kaze i procena neodredjenosti, prava vrednost za visinu vrata moze biti bilo koji broj.


Kako proceniti neodredjenost u procesu merenja (ne zaboraviti da i sam merni uredjaj ima neku svoju neodredjenost)?


Bitan je nacin zapisivanja neodredjenosti. Moze se definisati pravilo da u ve\'cini merenja, neodredjenost treba zapisivati zaokruzeno na jednu znacajnu cifru. Sto se tice rezultata merenja, treba ga tako zapisati da zadnja znacajna cifra bude istog reda velicine kao i neodredjenost.


Na primer, dobro zapisani rezultati su:
92.8 ±0.3     93 ±3     90 ±30
dok je primer loseg zapisivanja rezultata merenja:
92.7931 ±0.3     93 ±3.28





Figure 2.6: Graficki prikaz neodredjenosti
../SlikePng/Greske06.png
Merene vrednosti i neodredjenost se mogu prikazati i graficki. Na slici 2.6 je na levoj strani prikazan slucaj kada je neodredjenost nezavisne velicine X za red velicine manja od zavisne velicine Y, dok je na desnoj strani primer kada su merne neodredjenosti istog reda velicine.


Dati primer za jedan i za drugi dijagram!





Na primer:
na prvom dijagramu apscisa (X osa) mogu da budu redni brojevi merenja intervala od 5 sekundi, dok na ordinati (Y osa) mogu da budu rezultati merenja +/- standardna devijacija.
na drugom dijagramu mogu biti rezultati kalibracije sonde za nivo - na apscisi su visine koje se zadaju (mere se metrom, sa nekom neodredjenos\'cu) a na ordinati napon na sondi.





Neodredjenost se moze iskazati dimenzionalno, preko apsolutne neodredjenosti, jednacinom:
j = jNP ±dj
gde je j velicina koja se meri, jNP najverovatnija procena merne velicine, a dj apsolutna neodredjenost.


Bezdimenzionalno, neodredjenost se prikazuje pomo\'cu relativne neodredjenosti, jednacinom:
j = jNP æ
è 		1 ± dj
|jNP|
 ö
ø
gde je [(dj)/(|jNP|)] relativna neodredjenost. Relativna neodredjenost se najces\'ce izrazava u procentima: [(dj)/(|jNP|)]×100, na primer p=46.3±1%.





Neodredjenost merne velicine treba da bude sastavni deo zapisa rezultata merenja, da ga "prati kroz zivot". Drugim recima, neodredjenost postaje metapodatak - podatak o podatku (metapodatak je i mesto gde je mereno, uredjaj sa kojim je mereno, datum kalibracije uredjaja, temperatura fluida i slicno).  Tok merenih podataka i metapodataka (Iz knjige Data requirements for Integrated Water Management - Chapter 9)





2.3  Propagacija neodredjenosti

Cesto se neka velicina j meri posredno, merenjem drugih velicina X, Y, ¼, W, pri cemu se za svaku od tih velicina moze odrediti neodredjenost. Da bi se odredila ukupna neodredjenost velicine j, u takvim slucajevima, primenjuju se pravila za propagaciju neodredjenosti.


Proizvod dve velicine  
Ako je j = X ×Y, neodredjenost velicine j je data sa:

j = XNP×YNP× æ
è 		1 ± dX
|XNP|
 ö
ø 		× æ
è 		1 ± dY
|YNP|
 ö
ø
(podsetnik: jNP najverovatnija procena merne velicine, dj apsolutna neodredjenost, [(dj)/(|jNP|)] relativna neodredjenost)
Posto se trazi najve\'ca neodredjenost uzimaju se oba znaka + u zagradama:

æ
è 		1 + dX
|XNP|
 ö
ø 		× æ
è 		1 + dY
|YNP|
 ö
ø 		= 1+ dX
|XNP|
 + dY
|YNP|
 + dX
|XNP|
 × dY
|YNP|
Proizvod dve male velicine [(dX)/(|XNP|)]×[(dY)/(|YNP|)] se moze zanemariti, pa se dobija:

j = XNP×YNP× é
ë 		1± æ
è 		dX
|XNP|
 + dY
|YNP|
 ö
ø 		ù
û
Posto se velicina j moze napisati preko njene relativne neodredjenosti:
j = XNP×YNP× é
ë 		1± dj
|jNP|
 ù
û
sledi da je relativna neodredjenost proizvoda dve velicine je jednaka zbiru njihovih relativnih neodredjenosti:
dj
|jNP|
 = æ
è 		dX
|XNP|
 + dY
|YNP|
 ö
ø


Proizvod merne velicine i konstante  
Za j koji je proizvod merne velicine X i konstante B, j = X ×B, neodredjenost se racuna preko proizvoda dve velicine, X i Y, gde je velicina Y Y=B+ dB uz uslov da je apsolutna neodredjenost konstante dB=0.

j = B×XNP æ
è 		1 ± é
ë 		dX
|XNP|
 + dB
|B|
 ù
û 		ö
ø
Stavljaju\'ci [(dB)/(|B|)] = 0, dobija se:

j = B×XNP ±B×XNP× dX
|XNP|

j = B×XNP ±|B|×dX
gde se uzima apsolutna vrednost konstante |B| zato sto se trazi maksimalna neodredjenost.


Kolicnik dve velicine  
Za j = [(X)/(Y)]

j = XNP
YNP
 ×
1± dX
|XNP|
1± dY
|YNP|
Razlomak oblika [(1 ±a)/(1 ±b)] daje najve\'cu neodredjenost za + u brojiocu i - u imeniocu, jer su a, b << 1. Sredjivanjem razlomka se dobija:

1+a
1-b
 = ( 1+a ) ( 1+b )
1-b2
 = ( 1+a ) (1+b )=1+a+b+a×b
pri cemu je proizvod dve male velicine a×b zanemaren.

j = XNP
YNP
 × é
ë 		1± æ
è 		dX
|XNP|
 + dY
|YNP|
 ö
ø 		ù
û
odnosno relativna neodredjenost kolicnika dve velicine je jednaka zbiru njihovih relativnih neodredjenosti:
j = XNP
YNP
 × é
ë 		1± dj
|jNP|
 ù
û 		   Þ    dj
|jNP|
 = æ
è 		dX
|XNP|
 + dY
|YNP|
 ö
ø


Zbir dve velicine  
Za j = X+Y neodredjenost je:

j = XNP+YNP+dX + dY    Þ    dj = dX + dY
odnosno, apsolutna neodredjenost zbira dve velicine je jednaka zbiru apsolutnih neodredjenosti pojedinih sabiraka.


Kolicnik proizvoda vise velicina  
Za j = [(X×Y×¼×Z)/(U×V×¼×W)] maksimalna vrednost relativne neodredjenosti je data sa:

dj
|jNP|
 = dX
|XNP|
 + dY
|YNP|
 + ¼+ dU
|UNP|
 + dV
|VNP|
 + ¼


Za proizvoljnu funkciju vise nezavisnih velicina  
Za j koji je proizvoljna funkcija j = f (X,Y,Z, ¼) racuna se maksimalna vrednost apsolutne neodredjenosti:

dj = j
X
 ×dX + j
Y
 ×dY + j
Z
 ×dZ + ¼








Sve ovo do sada je bilo maksimalna neodredjenost - ovako se racuna ako se sumnja da postoji sistematska greska - pa je okvir u kome se nalazi merena vrednost:

|jNP|- dj < j < |jNP| + dj


Uopsteno pravilo:





Primer: Istim metrom se meri visina vrata h i sirina b, pa se racuna povrsina A=b×h. Izmerena visina je h=211.3 cm a sirina b=71.5 cm. Procenjuje se da je greska merenja zbir apsolutne greske ocitavanja sa skale dL1=0.05 cm i relativne greske usled izduzenja metra dL2 = 0.2%. Kolika je povrsina vrata?


KLIKNI ZA XLS TABELU








Resenje:
Na raspolaganju imamo samo jedno merenje visine i sirine, pa nam ne preostaje drugo nego da te merene vrednosti proglasimo najverovatnijom procenom: hNP=h=211.3 cm i bNP=b=71.5 cm.
Povrsina vrata je ANP=hNP×bNP = 211.3 ×71.5 = 15107.95 cm2 sa relativnom neodredjenosti:
dA
|ANP|
 = dh
|hNP|
 + db
|bNP|
Neodredjenost merenja duzine je data kao zbir dva faktora: apsolutnog dL1 i relativnog dL2. Da bi se dobila apsolutna neodredjenost merenja visine dh, sabra\'ce se dva uticaja (jer se uzima maksimalna vrednost):
dh = dL1 + dL2 * hNP=0.05+0.2×211.3/100 = 0.4726 cm
a apsolutna neodredjenost sirine je:
db = dL1 + dL2 * bNP=0.05+0.2×71.5/100 = 0.143 cm
Relativna neodredjenost povrsine je:
dA
|ANP|
 = 0.4726
211.3
 + 0.143
71.5
 = 0.00423663 odnosno u procentima 0.424%
Apsolutna neodredjenost povrsine je: 15107.95×0.00423663=64.007 cm2
pa se finalno povrsina vrata moze izraziti kao: A=15100±60 cm2
(obratiti paznju na primenu pravila o pisanju neodredjenosti)





Medjutim, sta ako se koriste razliciti merni uredjaji za merenje h i b, pa postoji 50% sansi da jedan merni uredjaj gresi u + smeru a drugi u - smeru? Tada je izracunata procena relativne neodredjenosti prevelika ako se prosto saberu pojedine relativne neodredjenosti! Uvode se pojmovi maksimalna neodredjenost (kao zbir relativnih neodrdjenosti – najgora varijnata) i pojam verovatna neodredjenost, koja predpostavlja da relativna neodredjenost svakog od instrumenata moze i da se ponisti.


Figure 2.7: Uporedjenje maksimalne i verovatne neodredjenosti
../SlikePng/Greske07.png
Ako su greske u merenju duzina h i b samo slucajne, tada se:





Analiza gresaka svih velicina koje ulaze u racun je vazan korak u procesu merenja. Mada svi znaju da greske u merenju postoje, cesto se to zaboravi. Primer:  Izvestaj bilansiranja voda na postrojenju Banovo Brdo - 2004


Kako treba da izgledaju "ozbiljni" izvestaji - treba uvek da sadrze i poglavlje Procena pouzdanosti merenja - primer  Izvestaj provere Transit-time metode - Accusonic (izlozeno na  IGHEM 2000 konferenciji) - videti stranu 8!. (Rad nije postavljen na sajtu predmeta - ako hocete da ga vidite, idite na sajt IGHEM-a, na Papers, 2000-te i odaberite rad broj 20.)
Imamo i nas primer, sa merenja protoka na Djerdapu 2, 2020-te godine. Pogledati u direktorijumu /Razno/PregledMetodaZaMerenjeProtokaNaDjerdap2/3_dan_5-Merna_Nesigurnost.pdf





2.4  Statisticka analiza slucajnih neodredjenosti

Greske nastale u toku merenja mogu biti:
  1. Grube greske:
    • Merac3 kaze Q=1.73 l/s, a zapisnicar pise 7.73 l/s.
    • Mehanicka stoperica od jednog minuta izmeri 69 sec, a procita se 9 sec (na maloj kazaljci se ne uoci ceo minut).
    • Kvar na mernoj opremi koji prodje neprime\'ceno loger pritiska koji jos uvek radi, ali pogresno
    • ... dati jos primera
    Grube greske se lako otkrivaju ali se ne mogu naknadno korigovati, pa je potrebno merenja iskljuciti iz analize. Najces\'ci kriterijum za iskljucivanje podatka je kriterijum trostruke greske: kada je razlika izmerene vrednosti od najverovatnije procenjene vrednosti |xi - XNP| ve\'ca od trostruke standardne devijacije 3×s [13,strana 92].

  2. Sistematske greske:
    • Q = [5/16] Ö{2 g (H - H0 )5} sa pogresnim H0 ,
    • Merna pantljika koja je graduisana pri T=200 C kada se koristi u Sibiru (zimi),
    • Nivo u rezervoaru se meri od vrha do vode, a Uprava Vodovoda misli da su to merenja dubine (od dna do povrsine)
      Para\'cin 1996: Slika uliva u rezervoar  ...evo i razloga (donji desni cosak slike)
    • ... dati jos primera
    Jedan broj sistematskih gresaka se moze naknadno otkloniti dodatnom analizom, uz poznavanje dodatnih parametara. Primer kalibracije matematickog modela PPV Strand, Novi Sad - nepoznavanje precnika cevovoda, a precnik ucestvuje sa 5-tim eksponentom u gubicima! KLIKNI
    DE = l L
    D
    		 V2
    2g
    		 =l L
    D
    		 Q2
    2g A2
    		 =l L
    D
    		 Q2
    2g (D2 p/4)2
    		 =Const. 1
    D5


    Pojam koji je povezan sa sistematskim greskama je TACNOST. Kalibracijom i/ili pregledom se poboljsava tacnost. Primer kalibracije kapacitivnog senzora za nivo. KLIKNI- Gornji dijagram je rezultat lose kalibracije - fitovanjem kvadratnom krivom a donja je tacnija - fitovanjem kubnom krivom koja bolje oslikava fiziku problema.


  3. Slucajne greske: neizbezne, uvek postoje (manje ili vise) i osobina im je da povremeno umanjuju a povremeno uve\'cavaju mernu vrednost. Visestrukim ponavljanjem merenja se smanjuje ukupna greska.
    Primer merenja vremenskog intervala od Dt=5 sec, 2003: Rezultati Cvoro Dragana


    Pojam koji je povezan sa slucajnim greskama je PONOVLJIVOST. Kalibracijom i/ili pregledom se ne moze poboljsati ponovljivost - ona zavisi od merne metode, kvaliteta uredjaja, uslova rada i slicno.


    Treba razlikovati pojmove TACNOST i PONOVLJIVOST. Ponovljiv uredja se moze kalibracijom napraviti da bude tacan dok neponovljiv ne moze!
    Ponovljivost versus tacnost-1 Internet LINK
    Ponovljivost versus tacnost-1 Internet LINK


VAZNO: Jedino slucajne greske ima smisla statisticki obradjivati!
Da bi analizirali slucajne greske, treba vise puta, u istim uslovima ponoviti merenja.


Primer: za izmerene vrednosti 71, 72, 72, 73, 71 najverovatnija procena je srednja vrednost:

jNP=
j
 
 =
N
å
 
 ji
N

jNP=71.8
Meru odstupanja merenih vrednosti od srednje vrednosti daje standardna devijacija ili srednje kvadratno odstupanje:
sji=   æ
Ö
1
N
 × N
å
 
 æ
è 		ji -
j
 
 ö
ø 		2
 
 
 =0.75
odnosno, za broj merenja koji nije veliki (N < 10), korektnije je standardnu devijaciju ili srednje kvadratno odstupanje racunati prema slede\'cem obrascu:
sji=   æ
Ö
1
N-1
 × N
å
 
 æ
è 		ji -
j
 
 ö
ø 		2
 
 
 =0.84


Ako se usvoji normalna raspodela merenih vrednosti ji (sto je u redu ako postoje samo slucajne greske) tada se moze re\'ci sa 68.27% verovatno\'ce da \'ce merena vrednost ji biti u opsegu:
ji = jNP ±sji


Sracunato sji je srednja neodredjenost za svako pojedinacno merenje ji.
Posto je najverovatnija procena jNP srednja vrednost od N merenja, ona je pouzdanija nego svako pojedinacno merenje (naravno, samo u slucaju slucajnih gresaka), pa je i neodredjenost najverovatnije procene manja od neodredjenosti svakog pojedinacnog merenja.

s[`(j)]= sji
ÖN
 =0.37
gde je s[`(j)] standardna greska srednje vrednosti ili neodredjenost najverovatnije procene.


Tacna vrednost4 velicine koja se meri j (do koje pokusavamo da dodjemo visestrukim merenjima ji) je i dalje nepoznata! Ono sto moze da se zna je samo da je tacna vrednost sa 68.27% verovatno\'ce u opsegu:

j = jNP ± sji
ÖN


Jos jedan primer - merenje intervala od 5 sekundi stopericom. 50 merenja, srednja vrednost i neodredjenost: Merenje5sekundi-1





2.5  Raspodela slucajnih gresaka

Ukoliko se vise puta meri ista velicina j:
j1     j2    j3    j4    j5     ¼    jN
pa se rezultati sloze u rastu\'ci niz:

ja £ jb £ jc £ jd £ je £ ¼ £ jz
i prebroji koliko se rezultata merenja nalazi unutar odredjenih klasa:
jA < jB < jC ¼ < jK
gde je Dj = const, pa se taj broj podeli sa duzinom serije N, dobija se histogram prikazan na slici 2.8.


Figure 2.8: Histogram rezultata merenja
../SlikePng/Greske08.png





Kako raste broj merenja, pove\'cava se broj klasa, tako da se oblik histograma priblizava simetricnoj "zvonastoj" (bell shaped) krivoj - Normalnoj raspodeli (Gausovoj) (prikazanoj na slici 2.9):
Figure 2.9: Histogram rezultata velikog broja merenja
../SlikePng/Greske09.png

f (j) = 1
sj
Ö
2p
 e-[(( x-[`(x)] ) 2)/(2 sj2)]


Primer od 50 merenja vremenskog untervala, podeljen na klase i sa ucrtanom teorijskom normalnom raspodelom Merenje5sekundi-2 (i nije bas neki primer dobrog merenja / mnogo je "spljostena" kriva - malo sigma, odnosno, velika nepouzdanost).





Figure 2.10: Kontinualni histogram - zvonasta kriva normalne raspodele
../SlikePng/Greske10.png





Figure 2.11: Kriva normalne raspodele - verovatno\'ca da se pojedino merenje nadje u izabranom intervalu
../SlikePng/Greske11.png


U opstem slucaju, za interval ±t×sj , verovatno\'ca je
P ( ±t×sj )= 1

Ö
2 p
 ó
õ 		t

-t 
 e-[(z2)/2] dz = erf ( t )
Funkcija erf(t) je prikazana na slici 2.12.
Figure 2.12: Dijagram erf(t) funkcije
../SlikePng/Greske12.png

2.6  Uncertainty Assessment Methodology



Link ka sajtu Iowa University, Physical Experiments - Uncertainty Analysis.
KLIKNI ovde za lokalni sajt
KLIKNI za link ka Iowa-i
Link ka Iowa fluids lab





2.7  Sta jos treba...

U knjizi (budu\'coj) staviti jos poglavlja o principima odbacivanja podataka, zatim deo o Least-Square Fitting-u sa primerima, o koeficijentu korelacije, ...
Ve\'cina stvari je iz knjige J.R. Taylor-a [38].
U finalnom pisanju staviti jos konkretnih rezultata iz nekih merenja.

Bibliography

[1]
Ackers, P., W.R. White, J.A. Perkins i A.J.M. Harrison. (1978). Weirs and Flumes for Flow Measurement. John Wiley & Sons. Chichester.
[2]
Baker, R. C (2000). Flow measurement handbook: industrial designs, operating principles, performance, and applications. Cambridge University Press.
[3]
Benedict, R.P. (1969). Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements. John Wiley & Sons. New York.
[4]
Boros, A. (1985). Electrical Measurements in Engineering. Akadémiai kiadó. Budapest.
[5]
Bos, M.G., J.A. Replogle i A.J. Clemmens. (1984). Flow Measuring Flumes for Open Channel Systems. John Wiley & Sons. New York.
[6]
Camnasio, E., E. Orsi. (2008). Experimenting with a new calibration method for current meters. 7th international conference on hydraulic efficiency measurements (IGHEM), Milano (http://www.ighem.org/IGHEM2008/home.html).
[7]
Chow, V.T. (1959). Open-channel Hydraulics. McGraw-Hill. Tokyo.
[8]
Drenthen, J.G. (1987). Accoustic Discharge Measuring Devices. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[9]
Durst, F. (1987). Discharge Measuring Methods in Pipes. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[10]
Eckelmann, H. (1987). Hot-film and Hot-wire Anemometers. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[11]
Endress, U. (1987). Vortex Shedding Flow Meters. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[12]
Fingerston, L.M. (1987). An Introduction to Laser Doppler Anemometry. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[13]
Gaji\'c, A., Lj. Krsmanovi\'c. (1994). Matematicka analiza i postupci eksperimentalnih istrazivanja. Masinski fakultet, Univerzitet u Beogradu.
[14]
Hayward, A.T.J. (1979). Flowmeters: A Basic Guide and Source-book for Users. Macmillan publishers Ltd, London.
[15]
Hajdin, G. (1977). Mehanika fluida - Knjiga prva: Osnove. Gradjevinski fakultet Beograd.
[16]
Henderson, F.M. (1966). Open Channel Flow. The Macmillan Company. New York.
[17]
Jovanovi\'c, S., O. Bonacci i M. Andjeli\'c. (1977). Hidrometrija. Gradjevinski fakultet Beograd.
[18]
Mass, H.G., A. Gruen i D. Papantoniou. (1992). Particle Tracking Velocimetry in Three Dimensional Turbulent Flows - Part I: Photogrammetric Determination of Particle Coordinates. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[19]
Maksimovi\'c, C., J. Despotovi\'c, P. Trisi\'c, M. Simi\'c. (1986). Accuracy and reliability of rainfall and runoff measurements - Examples. Urban Drainage Modelling - Supplements. Editori: C. Maksimovi\'c and M. Radojkovi\'c. Dubrovnik.
[20]
Maksimovi\'c, C. (1993). Merenja u hidrotehnici. Gradjevinski fakultet Beograd.
[21]
Malik, N.A., T. Dracos, D. Papantoniou i H.G. Maas. (1992). Particle Tracking Velocimetry in Three Dimensional Turbulent Flows - Part II: Particle Tracking and Lagrangian Trajectories. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[22]
Merzkirch, W. (1987). Methods of Flow Visualization. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[23]
Merzkirch, W. (1992). Methods of Flow Visualization. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[24]
Mettlen, D. (1987). Mass Flow Measurement. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[25]
Miller, R.W. (1983). Flow Measurement Engineering Handbook. McGraw-Hill. New York.
[26]
Müller, A. i H.G. Maas. (1992). Methods of Flow Visualization. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[27]
Nakayama, Y. i R.F. Boucher. (1999). Introduction to Fluid Mechanics. Arnold. London.
[28]
Plavsi\'c, J. (2007). Skripta za predmet Inzenjerska hidrologija. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[29]
Prodanovi\'c, D. (1985). Diplomski rad... Diplomski rad. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[30]
Prodanovi\'c, D., A. Spoljari\'c, M. Iveti\'c i C. Maksimovi\'c. (1985). Dynamic characteristics of a pressure measuring system. Symposium on Measuring Techniques in Hydraulic Research. Delft.
[31]
Prodanovi\'c, D. (1992). Eksperimentalno izucavanje uticaja dva tipa regulacionih zatvaraca na fluidnu struju. Magistarski rad. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[32]
Prodanovi\'c, D. (2007). Mehanika fluida za studente Gradevinskog fakulteta. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[33]
Patel, V.C. (1987). An Introduction to Measurement of Velocity. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[34]
Radojkovi\'c, M., D. Obradovi\'c i C. Maksimovi\'c. (1989). Primena racunara u komunalnoj hidrotehnici. Naucna knjiga. Beograd.
[35]
Rouse, H. i S. Ince. (1957). History of Hydraulics. Iowa Institute of Hydraulic Reserach. Iowa City.
[36]
Stankovi\'c, D. (1997). Fizicko tehnicka merenja: Senzori. Univerzitet u Beogradu.
[37]
Staubli, T. (1987). Propeller-type Current Meters. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.
[38]
Taylor, J.R. (1982). An Introduction to Error Analysis. Oxford University Press.
[39]
Utami, T. i T. Ueno. (1987). Experimental Study on the Coherent Structure of Turbulent Open-channel Flow Using Visualization and Picture Processing. Journal of Fluid Mechanics. Knjiga 174, strane 399-440.
[40]
Vojt, P. (2006). Pove\'canje tacnosti merenja nivoa vode kapacitivnom sondom sa primenom na hidraulickoj analizi vodostana sa prigusivacem. Diplomski rad. Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu.
[41]
Westerweel, J. (1992). Particle Image Velocimetry. Flow Visualization and Flow Structures. Short course by IAHR program of continuing education. Editor: A. Müler.
[42]
White, W.R. (1987). Discharge Measuring Methods in Open Channels. Discharge and Velocity Measurement. Short course by IAHR Section on Hydraulics Instrumentation. Editor: A. Müler.

Footnotes:

1Za sve 4 serije srednja vrednost je ista: 18.75 V.
2Rec "verovatna" je naglasena, jer se sada radi sa verovatno\'cama a ne apsolutnim ciframa.
3Merac je onaj koji meri, a merilo je uredjaj kojim se meri
4Filozofsko pitanje: Koja je "prava vrednost" merene velicine? Da li uopste postoji ako ni jedno merenje ne moze to da pokaze? [38,-page 109 - An Introduction to Error Analysis - J. Taylor].

File translated from TEX by TTH, version 3.85.
On 14 May 2012, 11:49.