Gra Gradjevinski fakultet u Beogradu
Poslediplomska nastava na Odseku za hidrotehniku





R_N.png


Beograd, 1996.
Predgovor




Kao dugogodisnji nastavnik "Mehanike fluida" u poslediplomskoj nastavi na Gradjevinskom fakultetu u Beogradu, sastavio sam mnogo ispitnih zadataka. Od njih sam odabrao zadatke sa 25 ispitnih rokova, i oni su usli u ovu zbirku, sredjeni od I do XXV. U svakom roku bila su tri zadatka. Izuzetak cine samo ispiti oznaceni sa III i IV, u kojima su dva zadatka, ali je jedan bio toliko obiman da se mogao podeliti na dva.
Kako su to zadaci po pojedinim rokovima, a nisu po oblastima koje cine sadrzaj predmeta, korisnicima Zbirke, radi lakseg koris\'cenja, daje se slede\'ce razvrstavanje zadataka po oblastima.
A. PROVERAVANJE RAZUMEVANJA OSNOVNIH POJMOVA I OSNOVNIH
JEDNACINA
- Zadaci: II-1, III-1, IV-1, IV-2, V-2, VII-2, VIII-1, X-3, XV-1, XV-2, XVI-2, XIX-1, XIX-3, XX-1, XXII-1, XXIII-3, XXIV-2.
B. LAMINARNO RAVANSKO STRUJANJE
- Zadaci: I-1, II-3, IV-1, XIII-3, XVIII-3, XXII-3, XXIII-2, XXV-2.
C. RAVANSKE I OSNOSIMETRICNE TURBULENTNE STRUJE
- Zadaci: I-2, III-2, V-1, V-3, VI-2, VII-3, VIII-2, VIII-3, IX-2, IX-3, X-2, XI-2, XI-3, XII-2, XIII-2, XIV-3, XVI-3, XVII-2, XVII-3, XVIII-1, XX-2, XXI-1, XXI-2, XXIII-1, XXIV-1, XXV-3.
D. GRANICNI SLOJ UZ PLOCU
- Zadaci: VII-1, XVIII-2, XVI-1.
E. OTPORI TELA
- Zadaci: I-3, III-2, XIX-2.
F. DIMENZIONALNA ANALIZA
- Zadaci: IV-3, XII-3, XIV-2, XV-3, XVII-1.
G. FLUKTUACIJE PRITISAKA
- Zadaci: XII-1, XXI-3.
H. PRIMENA OSNOVNIH JEDNACINA HIDRAULICKE PRAKSE
- Zadaci: IX-1, X-1, XI-1, XIII-1, XIV-1, XX-3, XXI-1, XXII-2, XXIV-3.
*         *         *
Tehnicku obradu ove Zbirke obavio je Vojislav Marinkovi\'c, student poslediplomske nastave i saradnik u istrazivackom radu u Institutu za hidrotehniku Gradjevinskog fakulteta u Beogradu. Zahvaljuju\'ci njegovom zalaganju pojavljuju se ovi zadaci na korist slusaoca poslediplomske nastave.
I
Zadatak 1.
Pri laminarnom, ustaljenom i ravanskom strujanju izmedju dve paralelne ploce od kojih je gornja pokretna, a donja nepokretna (vidi skicu), sracunati, za masu fluida smestenu u prizmaticnu zapreminu izmedju ploca, a sa horizontalnom osnovom od 1m2:
R_I_1A.png
  1. energiju koju primi fluid pokretnom plocom;

  2. deformacioni rad devijatorskog  dela napona;

  3. motorni rad devijatorskog dela napona;

Navedeno od 1. do 3. odnosi se na energiju, odnosno radove u jedinici vremena.
Duz struje ostvaruje se promena pritiska:
-  p
x1
 =10-5 N/cm3
R_I_1B.png
Zadatak 2.
Za ravansko turbulentno strujanje izmedju dve paralelne nepokretne ploce, izuzevsi granicni podsloj, raspored osrednjenih brzina izrazen je sa:
u1
um
 = æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/6

 
            
u2
 
 =0
R_I_2.png
Navedeni raspored brzina napisan je za polovinu struje (do x2=h), a u drugoj polovini je isti jer je x2=h simetralna ravan.
Koeficijent Ct napona trenja t izmedju ploce i fluida jednak je 0.005 (Ct=2t/rv2, v = srednja brzina u preseku struje).
Proticaj izmedju ploca iznosi 600 dm3/s1 po 1m sirine (racuna se normalno na ravan crteza).
Gustina fluida je r = 1 g/cm3.
Sracunati "napone turbulencije" i "produkciju turbulentne energije" (po jedinici zapremine i u jedinici vremena) za x2=10cm.
Zadatak 3.
Sracunati brzinu U kojom \'ce u mirnoj vodi (viskozitet m = 10-7 N/cm2s, gustina r = 0.9g/cm3) jednoliko padati homogena loptica (gustine 1.1g/cm3) usled svoje tezine. Precnik loptice je d=1.2 mm.
Racun sprovesti za laminarno strujanje oko loptice, za koje se daje izraz za koeficijent sile otpora lopte:

CF =  24
Re
     gde je CF=  F
 1
2
 rU2 A
     a  Re=  rd U
m
Posle obavljenog racuna proveriti da li se ostvaruje laminarno strujanje, jer prethodno napisano vazi za Re < 5.
II
Zadatak 1.
Posmatra se zapremina V izmedju dva poprecna preseka (I) i (II) cevi. U oba preseka raspored brzina, devijatorskih napona i svih karakteristika turbulencije je potpuno istovetan (identican). Fluid je nestisliv, a strujanje je ustaljeno - upravo sve osrednjene vrednosti su ustaljene.
R_II_1.png
Prepisati jednacine mehanicke energije za glavno strujanje i za fluktuacije - to su jednacine (53-25) i (53-32) u knjizi.
Te jednacine primeniti na posmatranu zapreminu, izmedju preseka (I) i (II), i pod navedenim uslovima. Izdvojiti one clanove koji su jednaki nuli i obrazloziti, za svakoga pojedinacno, zasto je jednak nuli. Preostale clanove napisati koriste\'ci indekse 1,2 i 3 (a ne uopstene i,j,k) i primeniti povrsinske integrale gde je to mogu\'ce. Rad tezine i pritiska spojiti (uvesti pijezometarsku kotu). Rad devijatorskog dela napona i "napona turbulencije" prikazati tako da se ispolji deformacioni rad, pokazati sta prelazi u toplotu, a sta u fluktuacije (a posle kroz njih u toplotu).
Zadatak 2.
R_II_2.png
Zadatak je ravanski. Fluid je nestisliv.
U preseku (I) brzina je rasporedjena ravnomerno uI = UI=Const, dok je u preseku (II) poreme\'cena (telom) i raspored brzina je otprilike kako je prikazan na skici.
Granicni sloj uz zidove je tanak. Vrtlozni trag iza tela zahvata samo ograniceni deo preseka. Stoga se za strujnicu S-S moze prihvatiti zakonitost za idealan fluid. Za jedan presek moze se uzeti da je pijezometarska kota ista.
Sracunati koeficijent CF sile F otpora za telo uronjeno u struju izmedju preseka (I) i (II):
CF=  F
 1
2
 ruI2A
A - poprecni presek tela
r - gustina
Zadatak 3.
R_II_3.png
                                                               

u2=u3=0
Ravansko i laminarno strujanje nestisljivog fluida.
 u1
x1
 =0




Kinematski koeficijent viskoznosti n = 0.1 cm2/s, gustina r = 0.9g/cm3.
Upisane brzine se odnose na trenutak t=t0, dok te brzine kroz vreme rastu 0.2 cm/s za 1-nu sekundu.
I. Sracunati ubrzanje deli\'ca u (C) za trenutak t=t0.
II. Za isti trenutak sracunati pijezometarske razlike PC-PD i PC-PB (indeksi se odnose na tacku na koju se odnosi pijezometarska kota).
III. Za deli\'c u (C) u t=t0 sracunati deformacioni rad (po jedinici zapremine u jedinici vremena). Koliko se za 1 sekund povisi temperatura toga deli\'ca, ako je toplota potrebna da se fluid zagreje za 10C ekvivalentna kinematickoj energiji pri brzini od otprilike 200m/s.
III
Zadatak 1.
Strujno polje je ograniceno sa:
x1 ³ L         x2 ³ L         e ³ x3 ³ -e
Raspored brzina je:
u1
=
 x1
x12+x22
  u0L æ
è 		1-  t
T
 ö
ø 		æ
è 		1-  x32
e2
 ö
ø
u2
=
 x2
x12+x22
  u0L æ
è 		1-  t
T
 ö
ø 		æ
è 		1-  x32
e2
 ö
ø
u3
=
0
u0=const = 10cm/s; L=const = 50cm; e = const = 0.8cm; T=const=100s.
Kinematski koeficijent viskoznosti i gustina fluida su:
n = 0.1 cm2/s         r = 0.9 g/cm3
Osovina "3" je vertikalna.
I. Posmatra se deli\'c u tacki (C) sa koordinatama:
x1=3L;     x2=4L;     x3=  e
2
i u trenutku t=T/2.
Sracunati za navedeni deli\'c:

    a) ubrzanje (sve tri komponente) i ukazati na lokalni i konvektivni deo;
    b) sve napone devijatorskog dela napona;
    c) deformacioni rad po jedinici zapremine i u jedinici vremena;
    d) silu pritiska (po jedinici zapremine), i to sve tri njene komponente.
II. Pokazati da navedeni raspored brzina zadovoljava jednacinu kontinuiteta (jednacina odrzanja mase).
Zadatak 2.
I. Raspored osrednjenih brzina pri tecenju nestisljivog fluida kroz pravolinijski polozenu cev (u pravcu 1.) kruznog preseka (poluprecnik =r) dat je sa
u
 
 =
u1
 
 =
um
 
 æ
è 		 x2
r
 ö
ø 		1/8

 
x2= udaljenost od zida.
Uporediti proticaj kineticke energije kroz presek cevi, sracunat na osnovu navedenog rasporeda brzina i uz uzimanje po celom preseku iste brzine (srednje brzine v za presek, v = Q/pr2, Q= proticaj).
II. Prethodno se odnosi na glavno strujanje. Za fluktuacije se daju slede\'ce procene:
Vrednost osrednjenog proizvoda (bilo koga) fluktuiraju\'cih brzina [`(ui¢uj¢)] ne prelazi 0.01 v2, a vrednost trostrukog proizvoda [`(ui¢uj¢uk¢)] ne prelazi 0.001v3.
Koliko, u odnosu na sracunato pod I, moze da iznosi osrednjeni proticaj kineticke energije u fluktuacijama.
IV
Zadatak 1.
U posmatranom trenutku (t0) u posmatranoj tacki (A) brzina iznosi:
u1 = 10 cm/s

u2 = 25 cm/s
dok u istom trenutku pritisci u okolnim tackama iznose prema upisanom na skici. U svim tackama lokalni pritisci se pove\'cavaju za 2N/cm2 za 1-nu sekundu.
Sracunati brzinu pove\'canja pritiska (materijalni izvod pritiska) za deli\'c koji se u trenutku t0 nalazi u tacki (A). Zadatak je ravanski.
R_IV_1.png
Cifre 8, 9, 11, 12 znace pritisak od toliko N/cm2u odnosnoj tacki.
Zadatak 2.
Razmatra se ravansko, ustaljeno i laminarno strujanje nestisljivog fluida sa brzinama
u1=LU  x1
x12+x22

u2=LU  x2
x12+x22

L=const1=2cm             U=const2=5cm/s
Sracunati za deli\'c na polozaju x1=2L  x2=2L
  1. ubrzanje

  2. sve deluju\'ce komponente devijatorskog dela napona

- kinematski koeficijent viskoznosti
n = 0.3cm2/s
 noindent - gustina
r = 0.8g/cm3
R_IV_3.png
Zadatak je ravanski.
I. Napisati izraz sa dimenzionalnim, a potom izraz sa bezdimenzionalnim velicinama, koji \'ce prikazivati ucestalost n otkidanja vrtloga kao funkciju od velicina od kojih zavisi.
II. Pod pretpostavkom neuticanja viskoznosti sracunati n za a=2m i u=50m/s, ako je eksperimentom utvrdjeno n=5s-1 za a=12cm i u=20m/s.
V
Zadatak 1.
R_V_1.png
Ravansko ustaljeno strujanje izmedju dve ploce.
Za donju polovinu struje brzina je data sa
u1
 
 =
umax
 
 æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/7

 
   ,   
u2
 
 =0   ,  
umax
 
 =1.5 m/s
Strujanje je simetricno u odnosu na simetralu (x2=h), i tako se moze odrediti raspored brzina i za gornju polovinu struje.
Ploce su glatke, pa se koeficijent Ct napona trenja t (izmedju ploca i fluida) moze sracunati iz obrasca za glatku cev:
l =  0.32
Re1/4
Re = v 2h/n, 2h = razmak izmedju ploca, v = srednja brzina u preseku, n = kinematski koeficijent viskoznosti.
Isti obrazac se moze primeniti i na posmatran slucaj (ravansko strujanje izmedju ploca, gde se trenje obavlja samo po plocama), sa time da bude isti hidraulicki radijus, a zna se da je l = 4Ct, a Ct=2t/rv2.
Gustina fluida r = 1g/cm3, n = 0.012cm2/s.
I. Pokazati da je za dati slucaj
|u1¢u2¢|
v2
 < 10-2
u1¢ i u2¢ su turbulentne fluktuacije brzina.
II. Sracunati razliku osrednjenih pritisaka u osovinama preseka (I) i (II).
Zadatak 2.
Pretpostaviti da vodena struja ciji je raspored brzina dat zadatkom 1. nosi suspendovani materijal cija je koncentracija C u posmatranom i odredjenom trenutku izrazena sa
       
za presek I za presek II
C=C0(1-[(4x2)/h])2 za x2 £ [ 1/4]h C=C0(1-[(6x2)/h])2 za x2 £ [ 1/6]h
C=0             za x2 ³ [ 1/4]h C=0             za x2 ³ [ 1/6]h
C0 = 0.7 % u preseku I.
C0 = 0.5 % u preseku II.
Koncentracija oznacava odnos suspendovanog materijala i vode.
I. Za posmatrani trenutak numericki sracunati:

ó
õ

V* 
  
t
 (C r) dV
                r - gustina vode = 1kg/dm3
                V* - zapremina izmedju preseka I i II.
II. Protumaciti sta u fizickom smislu predstavlja napisani integral.
Zadatak 3.
Za pad linije energije IE pri jednolikom tecenju u cevima, daje se slede\'ci empirijski obrazac:
IE=C  v1.87
D1.15
v - brzina; D - precnik; C - je konstantno za cevi istog kvaliteta obloge.
Pretpostavlja se da je obrazac namenjen tecenju vode, tj. ne vazi za tecenje fluida drugih viskoziteta.
Navedeni obrazac pretvoriti u poznatu funkciju l=l([ k/D],Re), odnosno u l=a([ k/D])bRef (a, b, f su konstante).
l je uobicajena oznaka za koeficijent trenja, l = 2gDIE/v2, Re=vD/n = Reynolds-ov broj, k/D = relativna hrapavost.
Objasniti:

    I. Da li navedeni obrazac moze da vazi bez ogranicenja brzina? Da li vazi i za laminarno tecenje i za hrapave cevi? Kad moze da vazi?
    II. Pokazati da sa C = const, obrazac moze da vazi samo za jednu apsolutnu hrapavost i bez promene viskoznosti.
    III. Pokazati da je u ovom obrascu uticaj relativne hrapavosti beznacajan i sta to prakticno znaci?
VI
Zadatak 1.
Izmedju dve paralelne ravne ploce, na medjusobnom rastojanju e=12mm laminarno i ustaljeno tece nestisljiv fluid (kinematski koeficijent viskoznosti n = 0.3cm2/s gustina r = 0.9g/cm3) uz uslov da je pijezometarska kota ista za sve tacke struje. Uzrok strujanju je u kretanju gornje ploce (ona se jednoliko kre\'ce brzinom U=50cm/s). Donja ploca je nepokretna. Zadatak je ravanski.
Za navedeno strujanje prikazati raspored (u funkciji x2):

    a) brzina;
    b) devijatorskog dela napona;
    c) motornog rada, po jedinici mase i u jedinici vremena;
    d) deformacionog rada, po jedinici mase i u jedinici vremena.
Prikaz treba da bude sa numerickim vrednostima.
*         *         *
Za konacnu masu smestenu u duzini (L) struje, a za sirinu (b), sracunati:

    e) deformacioni rad u jedinici vremena;
    f) motorni rad u jedinici vremena;
    g) rad kojim gornja ploca preda energiju struji u jedinici vremena.
Uzeti L=b=1m.
Objasniti medjusobnu vezu radova navedenih po e, f i g, odnosno pokazati energetski bilans za posmatranu konacnu masu kao celinu.
R_VI_1.png
Zadatak 2.
I. Napisati Reynolds-ovu jednacinu (to je jednacina (53-12) u knjizi), za pravce (1) i (2), izostavljaju\'ci u njima sve clanove koji otpadaju, jer su ispunjeni uslovi:

    a) strujanje je ustaljeno (ustaljene su osrednjene vrednosti svih velicina i svih proizvoda fluktuacionih velicina);
    b) osrednjeno strujanje je ravansko - u ravni (1,2);
    c) dejstvo napona usled viskoznosti zanemarljivo je u odnosu na dejstvo "napona turbulencije" kojima se obuhvata delovanje fluktuacija na glavno strujanje.
II. Iste jednacine nadalje uprostiti primenjuju\'ci na skicirani primer, a to je ravansko strujanje izmedju dve paralelne ploce, gde je raspored brzina, ukljucivsi fluktuacije, isti u svim poprecnim presecima (polozenim normalno na osovinu 1).
R_VI_2.png
III. U tackama (a) i (b) - vidi skicu - izmereni su osrednjeni pritisci i njihova razlika iznosi:

pb
 
 -
pa
 
 =0.008N/cm2
  1. Odrediti razliku pritisaka [`(pd)]-[`(pc)].

  2. Da li izmedju pritisaka u tackama (a) i (c) postoji razlika proporcionalna razlici polozajnih kota, tj. da li je


pc
 
 -
pa
 
 =g(za-zc)
ili to nije tacno, jer hidrostaticku raspodelu pritisaka u poprecnom preseku remeti uticaj fluktuacija. Prikazati to odgovaraju\'com jednacinom.
IV. U tacki (a) izmerena je slede\'ca fluktuaciona karakteristika
u1¢u2¢
 
 =-118cm2/s2
gde su u1¢ i u2¢ fluktuacije brzina.
  1. Koliko ista karakteristika iznosi u tackama (b), (c) i (d).

  2. Sracunati tangencijalni napon izmedju ploce i fluida. Pretpostavlja se da je on jednak naponu na granici izmedju turbulentnog jezgra i veoma tankog viskoznog podsloja (cija je debljina zanemarljiva u odnosu na debljinu struje).

V. Sracunati debljinu (dc) viskoznog podsloja pod pretpostavkom da je devijatorski napon u njemu konstantan, a strujanje laminarno, a na njegovoj granici ostvaruje se brzina (uc) koja sa (dc) cini Reynolds-ov broj
Rec=  uc dc r
m
 =120
VI. Osrednjene brzine u tackama (a) i (c) iznose
u1
 
 (a)
=
265cm/s
u1
 
 (c)
=
280cm/s
Aproksimiraju\'ci raspored brzina izmedju (a) i (c) - linearnim zakonom sracunati produkciju energije u fluktuacijama po jedinici mase i u jedinici vremena, u tacki na polivini rastojanja izmedju (a) i (c). 4 VII. Pokazati da je u istoj tacki - na sredini izmedju (a) i (b) - napon usled viskoznosti zanemarljiv u odnosu na napon turbulencije.
*         *         *
Pri izradi zadataka koji zahtevaju poznavanje koeficijenta viskoznosti m i gustine r, racunati sa m = 1.3·10-3 Nsm-2 i r = 1 kgdm-3.
VII
Zadatak 1.
Odrediti napon trenja t izmedju ploce i fluida u funkciji rastojanja od pocetka ploce x1. Isto izraziti i bezdimenzionalno Ct=Ct(Rex).
R_VII_1.png
Zadatak 2.
Uslovi:
  • zadatak je ravanski

  • fluid je nestisljiv

  • toplota dobijena deformacionim radom je zanemarljiva.

Polje brzina je dato sa:
u1
=
 x1
x12+x22
 U0L0
u2
=
 x2
x12+x22
 U0L0
Polje temperature je:
q = q0(x12+x22)  1
L02
L0, U0 i q0 su konstante.
I. Pokazati da se prethodno ostvaruje pri
 l
C rL0 U0
 = const1 = K
gde je:
l = koeficijent toplotne provodljivosti (kondukcije)
l = const2
C - specificna toplota = const3
r - gustina = const4
Sracunati numericku vrednost konstante K u prethodnom izrazu.
II. Posmatra se zapremina (V) - vidi skicu (debljina, normalno na crtez jednaka je (b) - i treba odrediti:

    a) ulaz, odnosno izlaz toplote, kroz granicne povrsine (I) i (II), i to:
    • konvekcijom (strujanjem)

    • kondukcijom (provodjenjem)


    b) pove\'canje toplote u jedinici vremena, u zapremini (V).
Na osnovu (a) i (b) napraviti bilans toplote.
                                               









Jednacine za granice (I) i (II):
x12+x22
=
rI2 = L02
x12+x22
=
rII2 = 4L02
R_VII_2.png
Zadatak 3.
Raspored brzina u turbulentnoj struji izmedju dve paralelne ploce (medjusobno rastojanje 2h) izrazen je sa
u1
um
 = æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/7

 
sto vazi za:         dc £ x2 £ h.
dc je debljina podsloja uz plocu u kome se ostvaruje laminarno strujanje uz priblizno konstantnu vrednost napona s21 (=t = granicni napon izmedju ploce i fluida).
Zadatak se resava kao ravanski, uz slede\'ce podatke:
t = 1.6N/m2
[`(um)] = 120cm/s
h = 10cm
g = specificna tezina = 10kN/m3
n = kinematski koeficijent viskoznosti = 0.01cm2/s
I. Sracunati za x2=1cm "produkciju turbulentne energije" po jedinici mase i u jedinici vremena.
II. Sracunato pod I izraziti bezdimenziono u odnosu na [(t)/(r)][(um)/h].
III. Sracunati debljinu dc laminarnog podsloja.
Napomene:
  1. U turbulentnom sloju devijatorski naponi koji deluju posredstvom viskoznosti zanemarljivi su u odnosu na napone turbulencije ([`(sijd)] << sijt)

  2. Na granici turbulentnog sloja ostvaruje se
    Rec=  uc dc
    n
    		 =115


R_VII_3.png
VIII
Zadatak 1.
R_VIII_1.png
Posmatra se turbulentno strujanje izmedju dve paralelne ploce pod pretpostavkom da je ustaljeno, ravansko i jednoliko (ovo znaci da se osrednjene vrednosti, pa i osrednjeni proizvodi fluktuacija ne menjaju sa vremenom, i duz pravih paralelnih sa osovinama 1 i 3).
Od zapreminskih sila deluje samo tezina. Fluid je nestisljiv.
Za taj slucaj napisati jednacinu mehanicke energije fluktuacija za proizvoljan fluidni deli\'c (za proizvoljnu tacku). U opstem obliku ta jednacina je u knjizi obelezena sa (53-31), a sada u njoj treba izostaviti clanove (i komponente clanova) koji su jednaki nuli za posmatrani zadatak. Jednacinu napisati koriste\'ci indekse 1, 2 i 3 (a ne simbolicne indekse i.j,k). Koristiti totalne izvode, gde je to mogu\'ce. Clanove obrazloziti (sta predstavljaju), a posebno ukazati na clan koji unosi viskoznost (da li on oznacava prelaz iz mehanicke energije u toplotu). Za taj clan obrazloziti da li je nula ako su hrapavi zidovi (ploce).
Zadatak 2.
Za prethodno strujanje, uz pretpostavku hrapavih povrsina ploca, brzina u1 je zavisna od apsolutne hrapavosti k, gustine r, rastojanja od zida x2 i tangencijalnog napona t izmedju ploce i fluida. Od tih 5 dimenzionalnih velicina mogu se obrazovati 2 bezdimenzionalne.
Pokazati da se zadatak svodi na izucavanje zavisnosti
u1

Ö
t/r
 =f æ
è 		 x2
k
 ö
ø 		                   (1)
Funkcija koja tome odgovara moze da bude
u1

Ö
t/r
 =Const æ
è 		 x2
k
 ö
ø 		1/6

 
         (2)
ako se eksperimentalni podaci u nju uklope. Uz pretpostavku da je poznato da je prethodno prihvatljivo sa Const=9.3, napisati izraz za koeficijent tangencijalnog napona
Ct =  t
1/2rv2
                          (3)
gde je v srednja brzina kroz poprecni presek struje.
Uz pretpostavku da tako utvrdjena zavisnost vazi za sve jednolike struje ako je hidraulicki radijus u svim slucajevima isti, sracunati koeficijent u Sezijevoj formuli i rezultat uporediti sa Manning-ovom formulom. Kod strujanja izmedju dve ploce, shva\'cenog kao ravanski zadatak, granicne povrsine za trenje su samo ploce - na osnovu toga odredjuje se hidraulicki radijus.
*         *         *
Odgovoriti (i odgovore obrazloziti) na slede\'ca pitanja:

    I. Da li Manning-ova formula vazi samo za hrapave zidove, ili i za glatke, i za prelaznu oblast (iz glatkih u hrapave zidove)?
    II. Da li Manning-ov koeficijent hrapavosti izrazava relativnu ili apsolutnu hrapavost?
    III. Kakva je veza izmedju Manning-ovog koeficijenta hrapavosti n i apsolutne hrapavosti k? Da li postoji srazmernost izmedju n i ky gde je y=Const (kolika je vrednost y)?
    III. Da li se na osnovu drugacijeg rasporeda brzina (drugi izlozitelj u jednacini 2, nije 1/6) moze do\'ci do Manning-ove formule?
Zadatak 3.
I " Produkciju" energije u fluktuacijama u zapremini, u jedinici vremena, predstavlja poslednji clan u jednacini napisanoj u knjizi sa (53-32).
Ako se sa Pr oznaci "produkcija" po jedinici zapremine i u jedinici vremena, ukupna "produkcija" u zapremini (tj. navedeni clan navedene jednacine) iznosi
ó
õ

V 
 Pr  dV
Graficki prikazati kako je po poprecnom preseku rasporedjena "produkcija" energije tj. nacrtati graficki prikaz zavisnosti
 Pr
tum/h
 =f æ
è 		 x2
h
 ö
ø
Posto bi Pr za x2/h=0 dobilo beskonacno veliku vrednost prikazati za obalst x2/h ³ 0.02. Naime, zakonitost za turbulentne velicine i ne vaze za x2=0, gde i nema turbulencije.
Za raspored brzina uzeti zakonitost datu izrazom (2) u zadatku 2.
Pretpostaviti da su naponi devijatorskog dela napona (koji deluju posredstvom viskoznosti) zanemarljivi u odnosu na "napone" turbulencije (sijd << sijt).
II Napisati izraz za "produkciju" energije u fluktuacijama u zapremini V izmedju dva poprecna preseka struje na medjusobnom rastojanju L1, uz sirinu L3 struje (u pravcu 3, to je onaj pravac normalan na onaj dat u Zadatku 1.). Kako je debljina struje 2h, navedena zapremina je V=2hL1L3.
III Sracunati i numericki izraziti "produkciju" izrazenu pod II za primer gde je:
h=0.12m    L1=1m    L3=1m    k=1mm   a   v=  prosecna brzina za presek  = 2m/s
Raspored brzina izracunava se sa (2) u Zadatku 2. uz Const.=9.3, iz cega \'ce proiza\'ci i vrednost za Ct prema izrazu (3) iz istog zadatka.
IX
Zadatak 1.
R_IX_1A.png
                                                       
Primenom dinamicke jednacine za struju (od preseka "a" do preseka "c") sracunati pijezometarsku kotu Pc.
Time je odredjena i izgubljena energija u struji do preseka "c", koju treba izraziti sa:
xulaza=  Eizg(a® c)
v2/2g
*         *         *

    a) Brzina u sudu je zanemarljiva (izuzev neposredne blizine ulaza u cev);
    b) Trenje po obimu cevi (sa unutrasnje i spoljasnje strane) je zanemarljivo;
    c) Racuna se sa prosecnom brzinom v za poprecni presek - cev je konstantnog preseka.
R_IX_1B.png
                                                       
*         *         *
Da li se postupkom, kojim se za prethodni zadatak (cev ugurana u sud) doslo do izgubljene energije, moze do\'ci i do izgubljene energije za ulaz prema datoj skici (tzv. ostroivicni ulaz).
Ako moze, sracunati xulaza.
Ako ne moze, objasniti zasto ne moze (kada je moglo za prethodni slucaj).
Zadatak 2.
Posmatra se turbulentna struja izmedju dve paralelne ploce (postavljene normalno na osovinu 2). Fluid je nestisljiv. Zadatak je ravanski, struja je ustaljena, sto kod turbulentnog strujanja znaci da osrednjene vrednosti, ukljucuju\'ci i osrednjene vrednosti proizvoda fluktuiraju\'cih velicina, ne zavise od vremena i od x3.
R_IX_2.png
I. Pokazati da se prirastaj kineticke energije fluktuacija (po jedinici zapremine i u jedinici vremena) izrazava za posmatrani zadatak sa:
-  1
2
 r  d
dx2
 æ
è
u2¢u1¢2
 
 +
u2¢3
 
 +
u2¢u3¢2
 
 ö
ø 		=Dif
Pisanjem Dif ukazalo bi se da je u posmatranom primeru navedeni prirastaj iskljuciva posledica difuzije. Prethodno se dobija primenom izrazenog drugim clanom jednacine (53-31) na razmatrani primer. Sprovesti ceo postupak.
II. Eksperimentalno je utvrdjeno da se Dif menja sa x2 onako kako pokazuje crtez desno.
Koji deli\'ci dobijaju, a kojima se oduzima energija difuzijom kineticke energije (u pravcu 1, 2 ili 3) i kojim smerom? Da li je ukupan iznos difuzije kineticke energije po poprecnom preseku
ó
õ

Ac 
 Dif dA
jednak nuli? (Ac=2hL3, L3= proizvoljna sirina struje u pravcu 3).
Zadatak 3.
I. Za struju iz prethodnog zadatka (zadatak 2.) pokazati da se raspored brzina (u bezdimenzionalnom obliku) svodi na funkciju:
u1

Ö
t/r
 = f æ
ç
è
x2
Ö
t/r
n
 ö
÷
ø
pod pretpostavkom da su ploce glatke.
Prethodna funkcija je veza 2 bezdimenzionalne velicine, na koju se svodi veza 5 dimenzionalnih velicina: [`(u1)] (brzina), x2 (rastojanja od zida), t (napon trenja na ploci), r (gustina), m (koeficijent viskoznosti). Za izraz je koris\'ceno n = m/r. Ovo svodjenje dimenzionalnom analizom treba izvesti.
II. Napisana funkcija vazi i za laminaran podsloj (gde je [`(u1)]=u1) i za turbulentni sloj. Za podsloj treba dokazati da se svodi na
 u1

Ö
t/r
 =
x2
Ö
t/r
n
X
Zadatak 1.
Za zatvoren sud oslonci primaju silu G+G gde je G tezina vode, a G tezina suda. Ploca koja zatvara dno mlaznika prima silu P0=gA H, gde je A povrsina otvora koji zatvara ploca, g je specificna tezina. Ploca na dnu mlaznika se skloni. Kroz otvor povrsine A voda istice. Sada oslonci primaju sumu G+G-D. Sracunati D pod slede\'cim uslovima:
R_X_1.png

    a) tezina ploce (zatvaraca) je zanemarljiva;
    b) fluid je idealan (nema gubitaka energije);
    c) nema suzavanja mlaza - i njegov presek je povrsine A;
    d) kroz ceo presek otvora brzina je ravnomerno rasporedjena;
    e) pijezometarska kota za mlaz kroz ceo presek otvora je ista;
    f) nivo u sudu je konstantan (H);
    g) presek otvora A je veoma malen u odnosu na horizontalni presek suda.
Uporediti sile P0 i D. Da li su medjusobno jednake ili nisu. Ako nisu, gde je uzrok za razliku. (Razmisliti o rasporedu pritisaka na sud pri isticanju i pri mirovanju).
Zadatak 2.
Napon t trenja izmedju zida i fluida izrazava se sa
t = Ct  1
2
 rv2
gde je:
v = srednja brzina struje
r = gustina = 1 kg dm-3
Ct = koeficijent napona trenja.
Sracunati Ct za struju izmedju dve medjusobno paralelne ploce, na medjusobnom rastojanju 2h.
Osrednjena brzina upravljena je u pravcu 1 koji je paralelan sa plocama, normala na plocu je pravac 2. Strujanje je ravansko - u ravni (1,2). Ploce su glatke pa se obrazuje viskozni laminarni podsloj debljine dc, a za turbulentni sloj se uspostavlja raspored osrednjenih brzina prema slede\'cem:
u1
 
 =
um
 
 æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/7

 
     za     dc £ x2 £ h
x2 = rastojanje od ploce = 1.8 dm
[`(um)] = maksimalna vrednost za [`(u1)] (pri x2=h)
U podsloju napon s12=s21=Const. Na granici podsloja i sloja brzina je uc. Uspostavlja se
Re=  uc dc
n
 =120
n = kinematski koeficijent viskoznosti = 0.012 cm2 s-1
*         *         *
Za dati raspored brzina u turbulentnom sloju sracunati odnos:
 Pr (od zida do  0.1h)
Pr (od  zida  do  h)
gde Pr oznacava "produkciju" turbulentne energije - u fluktuacijama. Prethodni odnos \'ce pokazati koji se deo ukupne produkcije obavi u prizidnoj desetini sloja. U ovom racunu moze se uzeti da turbulentni sloj ide od zida, posto je podsloj toliko tanak da ukljucivanje i njegove debljine ne menja rezultat.
Zadatak 3.

    A) Napisati jednacinu toplotne energije uz uslove:

      a) toplota dobijena deformacionim radom je zanemarljiva;
      b) fluid je nestisljiv;

    B) Istu jednacinu osrednjiti (tj. napisati sa osrednjenim svim clanovima, pa \'ce se u njoj pojaviti osrednjene vrednosti i osrednjeni fluktuacioni proizvodi):
Pri ispisivanju jednacine koristiti iskljucivo indekse 1, 2, 3, (pisati u razvijenom obliku), a ne pisati sa simbolicnim indeksima i, j i k.

    C) U jednacini napisanoj pod B) izostaviti kondukciju (provodjenje toplote) kao zanemarljivu u odnosu na konvekciju (prenos toplote brzinom - osrednjenom i fluktuacijama).
Nadalje, zadatak jos uprostiti prihvataju\'ci stavove:

    a) strujanje je ravansko - u ravni (1,2);
    b) strujanje je ustaljeno (ustaljene su osrednjene vrednosti).

    D) Jednacinu napisanu pod C) dalje pojednostaviti: uzeti da je struja upravljena iskljucivo u pravcu 1, i da je strujanje u poprecnim presecima istovetno. Ovo znaci
    u1
     
    		 =
    u1
     
    		 (x2)        
    u2
     
    		 =0
    Pretpostaviti i da je u pravcu 1 prenos toplote difuzijom neznatna u odnosu na prenos konvekcijom:
     
    x1
    		 (
    u1¢q¢
     
    		 ) <<  
    xi
    		 (
    u1
     
    q
     
    		 )
    gde je q temperatura, a q¢ njena fluktuaciona vrednost.
    E) U praksi se moze nai\'ci na veoma jednostavnu jednacinu
    u1
     
    q
     
    x1
    		 - K  
    x2
    		 æ
    ç
    è
    q
     
    x2
    		 ö
    ÷
    ø     		=0
    koja je namenjena zadatku sa istim uslovima za koje je napisana jednacina pod D).
U prethodnoj jednacini K predstavlja tzv. koeficijent difuzije. Protumaciti sta on izrazava - uporediti prethodnu jednacinu sa jednacinom dobijenom pod D).
XI
Zadatak 1.
R_XI_1A.png
I. Dinamicku jednacinu uravnotezenja sila, ukljucivsi i inercijalne, za pravac glavne cevi (x), a za masu fluida izmedju preseka I, II i III, uporediti sa jednacinom energije za struju izmedju I i II, i na osnovu toga odrediti izgubljenu energiju (po jedinici tezine) Eizg(I® II)=EI-EII, a potom napisati izraz za koeficijent lokalnog gubitka x, gde je
x =  Eizg(I ® II)
vII2/2g
Fluid je nestisljiv, strujanje je ustaljeno. U sva tri preseka pretpostaviti pravolinijsko strujanje, normalno na presek.
R_XI_1B.png
II. Empirijska zavisnost za x u vidu x = x(q/Q), pri AI=AII=AIII, data je na slici 2. Uporediti tu zavisnost i analiticku dobijenu pod I. Uoci\'ce se razlike koje su posledica neispunjavanja pretpostavki uzetih prilikom pisanja jednacina pod I. Da li se moze na\'ci objasnjenje u tome sto strujanje kroz III nije normalno na presek (postoji brzina u ravni preseka - vidi skicu 3).
R_XI_1C.png
Da bi se izbegle prethodna neparalelnost i zakrivljenost brzina kroz presek III zasto se presek ne pomeri na III¢, gde je strujanje paralelno i pravolinijsko, normalno na presek? Kakve tesko\'ce za ispisivanje sila tada nastaju (pa se opet ne moze do\'ci do prihvatljivog rezultata)?
Zadatak 2.
I. Za ravansko turbulentno strujanje (izmedju dve paralelne ploce), uz uslov da su ploce glatke [`(u1)] (osovina 1 je upravljena u pravcu strujanja) zavisi od rastojanja x2 od ploce, te od napona t trenja izmedju fluida i ploce, kao i od fizickih osobina fluida (gustina i viskoznost). Pokazati da se opisana zavisnost, primenom dimenzionalne analize, svodi na:
u1

Ö
t/r
 =f æ
ç
è
x2
Ö
t/r
n
 ö
÷
ø
n - kinematski koeficijent viskoznosti
r - gustina
II. Uz pretpostavku da je odredjenje funkcije pod (I):
u1

Ö
t/r
 =C æ
ç
è
x2
Ö
t/r
n
 ö
÷
ø 		1/7

 
Odrediti vrednost konstante C pod slede\'cim uslovima:
  • U granicnom viskoznom podsloju debljine dc strujanje je laminarno, a brzina raste od nule (na zidu, x2=0) do uc (za x2=dc) i uc je srazmerno sa x2, a ostvaruje se:
     dc uc
    n
    		 = 150


III. Sa odredjenom konstantom C sracunati koeficijent Ct napona t, gde je
Ct =  t
r  1
2
 v2
tj. Ct se izrazva preko srednje brzine v za struju (v= proticaj/poprecni presek struje).
Ct izraziti u zavisnosti od Re-broja
Re=  vh
n
2h - rastojanje izmedju ploca.
Zadatak 3.
U pravolinijski polozenoj cevi kruznog poprecnog preseka tecenje je turbulentno, a uslovljava se da je ono ustaljeno. Ono je i jednoliko (jer se precnik cevi ne menja). Jasno je da se ustaljenost i jednolikost shvataju u uslovnom smislu, kako je to uobicajeno kod turbulentnog strujanja: osrednjene vrednosti brzina, i osrednjeni proizvodi fluktuacija brzina, ne zavise od x1 (osovina 1 je u pravcu osnovnog strujanja), ni od vremena t.
I. Na osnovu REYNOLDS-ove jednacine napisane sa (53-12) napisati odgovaraju\'ce jednacine za sva tri pravca. Izostaviti one clanove koji su u postavljenom zadatku jednaki nuli, i zanemariti uticaj napona koji deluju posredstvom viskoznosti (u odnosu na "napone" turbulencije). Uticaj tezine (to je jedina zapreminska sila) i pritiska zdruziti u jedan clan (u kome se pojavljuje pijezometarska kota). Fluid je nestisljiv.
Iz napisanih jednacina pokazati da:

    a) pijezometarska kota P nije ista za sve deli\'ce u istom preseku;
    b) za sve deli\'ce (za celo strujno polje) je P/x1=Const.
II. Jednacina mehanicke energije za posmatrani zadatak, a za glavno strujanje, najlakse \'ce se ispitati mnozenjem REYNOLDS-ove jednacine za pravac 1 sa brzinom [`(u1)] (jer su [`(u2)]=[`(u3)]=0 ). Napisati tu jednacinu i potom je pomnoziti sa dV = L1dA (dV je elementarna zapremina, dA je elementarni deo poprecnog preseka, L1 je proizvoljna duzina cevi), i na kraju integrisati da vazi za zapreminu V = AL1.
III. Iz jednacine dobijene pod II. daljim izvodjenjem dokazati da je
-  P
x1
 L1gQ=

IPL1
Eizg 
 gQ = Prod = ó
õ

V=AL1 
 -r
uj¢ui¢
 
uj
 
x1
 dV
g - specificna tezina
Q - proticaj
-[(P)/(x1)]=IP - nagib pijezometarske linije
Eizg - izgubljena energija ( u jedinici tezine) na duzini L1
Prod - "produkcija" energije u fluktuacijama, u jedinici vremena.
Napomena: Pri pisanju jednacina ne koristiti simbolicke oznake (i, j) nego 1, 2, 3, i ne pisati one clanove koji su jednaki nuli.
IV. Objasniti gde se trosi Prod unutar fluktuacija.
XII
Zadatak 1.
Sila pritiska na plocu povrsine A, izrazava se kao zbir osrednjene vrednosti [`F] i fluktuacionog dodatka F¢:
F=
F
 
 +F¢
Sila se odredjuje merenjem pritiska u tri tacke (I, II i III) i moze se smatrati da je
F
 
 = æ
è
pI
 
 +
pII
 
 +
pIII
 
 ö
ø 		 A
3
i
F¢=(pI¢+pII¢+pIII¢)  A
3
R_XII_1.png
Raspolaze se izmerenim srednjim kvadratnim odstupanjima:
  æ
Ö
pI¢2
 
 =   æ
Ö
pIII¢2
 
 =3N/cm2           æ
Ö
pII¢2
 
 =4N/cm2
I. Pretpostavlja se da fluktuacija pritiska sledi tzv. "normalnu" raspodelu (GAUSS-ovu), a za maksimalni racunski pritisak uze\'ce se vrednost koju pritisak nadmasuje samo u 0.001 od ukupnog trajanja pojave. Za ovakve uslove je
p¢max=3.1   æ
Ö
p¢2
 
Sracunati maksimalnu vrednost fluktuacionog dodatka F¢max uz prihvatanje uslova da se maksimalni pritisci u sve tri tacke javljaju istovremeno.
II. Medjutim, maksimalni pritisci ne javljaju se istovremeno u svim tackama i ako se o tome vodi racuna dobi\'ce se manja sila, a ta je bas verovatna. Raspolaze se i koeficijentima korelacije
KI,II=
p¢I p¢II
  æ
Ö
pI¢2
 
  
pII¢2
 
 
 =0.7

KII,III=0.7         KI,III=0.5
i koris\'cenjem tih saznanja sracunati Ö{[`(F¢2)]} (srednje kvadratno odstupanje za fluktuacionu silu) i potom sracunati F¢max, uz pretpostavku:
F¢max=3.1   æ
Ö
F¢2
 
Sila sledi istu zakonitost raspodele kao i pritisci u pojedinim tackama, pa se i ovde uzeo isti faktor (=3.1), da se dobije ista verovatno\'ca (opet 0.001).
III. Uporediti rezultate za silu dobijene pod I. i II. i protumaciti razliku.
Zadatak 2.
Po nacelima hidraulike za slucaj prikazan narednom skicom moze se napisati:
PI-PII
=
Eizg
(razlika pijezo-
=
(izgubljena energija, po
metarskih kota)
jedinici tezine)
R_XII_2.png
Na zapreminu izmedju preseka I i II primeniti opstu jednacinu energije (34-6) i uz pretpostavku da je strujanje laminarno i da od zapreminskih sila deluje samo tezina, pokazati vezu izmedju Eizg i deformacionog rada òV sij[(uj)/(xi)]dV
Zadatak 3.
R_XII_3.png
                                                      
Skica prikazuje uredjaj za istrazivanje vrednosti tzv. koeficijenta filtracije K (u Darcy-jevom zakonu brzina filtracije je v=KI, I= nagib pijezometarske linije).
U jednom opitnom uzorku nepromenljivi su parametri: krupno\'ca zrna d, koeficijent poroznosti n, debljina sloja L, koeficijent viskoznosti za tecnost m, a mere se pritisak na manometru pm i brzina filtracije v. Brzina v je racunska brzina (v=Q/A gde je A presek cevi u koju se stavlja materijal, a Q je proticaj). Prosecna brzina kroz pore je onda jednaka v/n. Posto se eksperimentise sa razlicitim uzorcima (menja se d, L, n, m), pojavu opisuje me-
djusobna veza 6 velicina (pm, v, d, L, n, m).
Treba uociti da pm i L nisu medjusobno nezavisne velicine, jer je pritisak pm (koji meri otpor proticanju kroz pore) srazmeran duzini L na kojoj tecnost prodire kroz pore, pa se moze uvesti jedna velicina (pm/L) kao merodavna (koja izrazava otpor po jedinici duzine), a onda se ne moraju posebno uzeti pm i L. Tako se broj velicina moze smanjiti sa 6 na 5, sto se primenom dimenzionalne analize svodi na 2 bezdimenzionalne velicine, na
f(P,n)=0                 (1)
gde je:
P=  (pm/L)
dXvYmZ
             (2)
Za osnovne velicine su uzete (d, v, m), a P je bezdimenzionalna zamena za (pm/L).
Po odredjivanju izlozitelja (X, Y, Z) u izrazu (2) zameniti pm sa gH (g = specificna tezina). Ova zamena lako se objasnjava uvidom u skicu. Treba jos uociti da je H pijezometarska razlika za strujanje na duzini L.
Shodno izrazu (1) za n=const (ista poroznost) i P ima neku konstantnu vrednost. Na osnovu toga treba odrediti:
I. Odnos koeficijenata filtracije K pri temperaturama vode od 20oC i 5oC tj.
 K(20oC)
K(5oC)
pri istoj krupno\'ci zrna i istoj poroznosti.
Kinematicki koeficijent viskoznosti n (n = m/r) pri temperaturama od 20, odnosno 5oC, iznosi 0.0100 odnosno 0.0152 cm2/s.
II. Odnos koeficijenata filtracije K pri istoj poroznosti i istoj viskoznosti, a za krupno\'cu zrna d od 1mm i 3mm.
XIII
Zadatak 1.
R_XIII_1.png
Skica prikazuje siroki prag. Zadatak je ravanski.
Optere\'cenje na prag (hidrostaticko) prikazuje skica.
Uklanjanjem ustave dolazi do tecenja preko sirokog praga. Kako se menja optere\'cenje (u odnosu na hidrostaticko)? Primeniti jednacinu uravnotezenja sila da se pokaze da se optere\'cenje smanjuje. Gde treba ocekivati osetno smanjenje?
Prilikom tecenja pretpostaviti idealan fluid i zanemarljivu brzinu pred pragom. Tecenje preko praga je nepotopljeno. Nivo ispred praga je isti kao u hidrostatickom stanju.
Zadatak 2.
I. Gubitak energije na pravolinijskoj cevi duzine L, precnika D, pri brzini v, racuna se jednacinom
Eizg=l  L
D
  v2
2g
gde je (l) tzv. koeficijent trenja. Izvesti obrzac za racunanje (l) pod slede\'cim uslovima:

    a) cev je hrapava. Apsolutna hrapavost izrazena je sa k;
    b) eksperimentalno je utvrdjeno da je brzina uk za x2=k (vidi skicu)
    uk=8.5
    Ö
     
    t/r
     
    gde je t napon trenja izmedju zida cevi i fluida, a r gustina:
    c) raspored osrednjenih brzina je
    u
    um
    		 = æ
    è     		 x2
    r
    		 ö
    ø     		1/6

     
    gde je [`(um)] = brzina u osovini cevi (za x2=r).
R_XIII_2.png
                                                       
II. Objasniti da li postoji veza obrasca za (l) koji \'ce proiza\'ci iz (I) i MANNING-ove formule
C(CHEZY)=  1
n
 R1/6
R = hidraulicki radijus
n = MANNING-ov koeficijent
III. Izraziti produkciju turbulentne energije (u izrazu upotrebiti velicine u0, r, t) po jedinici zapremine, i u jedinici vremena, a za tacku x2=r/2.
Zadatak 3.
Fluid laminarno tece izmedju dve ploce od kojih je jedna nepokretna, a druga se jednoliko kre\'ce brzinom U (zadatak je ravanski). Uspostavljen je raspored brzina
u1=U  x2
h
         u2=0
h = razmak izmedju ploca (vidi skicu).
I. Kako se menjaju pritisci za navedeni raspored brzina. Ploce su horizontalne.
R_XIII_3.png
II. Pokazati da je toplota dobijena deformacionim radom zanemarljiva ako je energija potrebna za zagrevanje odredjene mase fluida za 100C jednaka energiji potrebnoj za podizanje te iste mase za 400m.
Podaci: U=10cm/s         h=1cm
Kinematski koeficijent viskoznosti
n = 0.2cm2/s
gustina
r = 1g/cm3
XIV
Zadatak 1.
R_XIV_1A.png
A. Sracunati dubinu hII potrebnu za obrazovanje hidraulickog skoka, uz uslov da je brzina vI=10m/s, a proticaj Q=40m3/s.
U preseku I¢ pretpostaviti struju u sredini istu kao u preseku I (dubina hI, brzina vI), a u preostalom delu preseka (I¢) hidrostaticko stanje sa dubinom hI. Objasniti opravdanost ove pretpostavke po ugledu na objasnjenje da deli\'ci u vrtlozni trag ponesu i potencijalnu energiju sa mesta odvajanja, ili po ugledu na teorijsko resenje naglog prosirenja u cevi.
*         *         *
B. Sracunati dubinu hII za isti proticaj i iste dolazne uslove (hI, vI), ali bez menjanja sirine kanala (b=B=4m). Uporediti izgubljene energije od I do II za slucajeve A. i B. Dati objasnjenje.
C. Uporediti dubinu hII (iza skoka) i izgubljenu energiju sa resenjima A) i B).
*         *         *
D. Ispitati i tre\'ce resenje. Skok se obrazuje u kanalu koji se siri. Da li je resenje mogu\'ce ako se ne znaju pritisci na boku kanala? proticaj.
R_XIV_1B.png
Zadatak 2.
Primenom dimenzionalne analize na pojavu hidraulickog skoka u pravougaonom kanalu konstantne sirine b, sa horizontalnim dnom, pokazati da se zadatak svodi na resavanje funkcije
j æ
è 		 hII
hI
 ,FrI ö
ø 		= 0         (1)
gde su hI i hII dubine ispred i iza skoka, a sa FrI je oznacen FROUDE-ov broj ispred skoka (FrI=[(Q2)/( gb2 hI3)]) [Q = proticaj].
Koje su velicine uzete u obzir za dobijanje funkcije (1). Sta je zanemareno, a o cemu se vodilo racuna (uticaji inercije, viskoznosti, tezine i kapilarnosti). Da li se za dobijanje (1) zadatak pretpostavio kao ravanski? Da li zanemarenje trenja znaci da se fluid smatra idealnim?
Zadatak 3.
R_XIV_3.png
Posmatra se turbulentno strujanje izmedju dve paralelne ploce, osrednjeno strujanje je ustaljeno, ravansko (u ravni 1,2), paralelno i pravolinijsko ([`(u1)]=[`u], [`(u2)]=[`(u3)]=0).
I). Primenom REYNOLDS-ove jednacine za pravac 1 pokazati da je:
s21t=-r
u1¢u2¢
 
 =t æ
è 		1 -  x2
h
 ö
ø
Pokazati koji su clanovi u jednacini jednaki nuli, a iz preostalih izvesti gornji zakljucak za "napon" turbulencije. Primeniti uobicajene pretpostavke. Zanemariti dejstvo napona trenja posredstvom viskoznosti ([`(s21d)] << s21t), napon sa zida (t) uzeti kao granicni, a zanemarljiva je i debljina viskoznog podsloja (dc << h).
II). Motorni rad napona turbulencije, po jedinici zapremine, i u jedinici vremena, iznosi:
uj
 
  sijt
xi
 =
uj
 
  
xi
 (-r
ui¢uj¢
 
 )
Pokazati da "motorni rad" svih napona turbulencije, u jedinici vremena, a za zapreminu L1L3 2h (L1 = duzina, L3 = proizvoljna sirina merenja u pravcu 3, 2h = debljina) iznosi:
-  tQ L1
h
gde je Q = proticaj izmedju ploca, a za sirinu L3.
III). Pokazati da je ukupan "rad" svih "napona turbulencije" za zapreminu iz II), jednak nuli. Iz toga zakljuciti koliki je "deformacioni rad napona turbulencije" (to se naziva: produkcija turbulentne energije), i to uporediti sa uobicajenim izrazom za "izgubljenu energiju" Eizg (to je energija, po jedinici tezine) na duzinu struje L1, tj. sa
Eizg=  tL1
gR
g = specificna tezina; R = hidraulicki radijus.
Protumaciti vezu izmedju Eizg i "produkcije turbulentne energije".
XV
Zadatak 1.
a) Posmatra se zapremina V, omedjena zatvorenom povrsinom A, i za istu treba napisati jednacinu nepromenjivosti mase materije rastvorene u fluidu. Tu jednacinu treba napisati koriste\'ci gustinu r fluida i koncentraciju C
C=  masa rastvorene materije
masa fluida
Sve sto je mogu\'ce izraziti povrsinskim integralom.
Podrazumeva se da se rastvor prenosi iskljucivo strujanjem (brzinom).
b) Jednacinu napisanu pod a) napisati uz uslov nestisljivosti (r = const).
c) Jednacinu iz b) diferenciranjem svesti na jednacinu za elementarnu masu, tj. na jednacinu primenjivu u svakoj tacki.
d) Jednacinu napisanu za c) prilagoditi turbulentnom strujanju: napisati jednacinu za glavno strujanje, koriste\'ci osrednjene vrednosti i fluktuacione dodatke tj. [`(uj)], [`(uj¢)], [`C], C¢.
e) U prakticnim zadacima cesto se koristi jednacina:
C
 
t
 +
ui
 
C
 
xi
 -  
xi
 æ
ç
è 		Kij
C
 
xj
 ö
÷
ø 		= 0
gde je Kij tzv. koeficijent difuzije.
Uporediti ovu jednacinu sa dobijenom pod d) i objasniti sta u stvari predstavlja koeficijent difuzije.
f) Jednacinu napisanu pod e) napisati koris\'cenjem iskljucivo indeksa 1, 2 i 3, a ne uopstenih (i, j), uz izostavljanje clanova koji su nula, a za slucaj gde vaze slede\'ci uslovi:
  • strujanje je ustaljeno, ravansko, u ravni (1,2), pravolinijsko i paralelno ([`(u1)]=[`u], [`(u2)]=0).

Koeficijenti difuzije su: K11=ConstI K22=ConstII, te K21=K12=0.
Zadatak 2.
Posmatra se turbulentna struja sa osrednjenim strujanjem, koje je paralelno i pravolinijsko, u pravcu 1, pa je [`(u1)]=[`u], [`(u2)]=[`(u3)]=0, ono je i jednoliko, jer je [`(u1)]=[`(u1)](x2,x3). Uz to je i ustaljeno. Jednolikost i ustaljenost znace da su parcijalni izvodi osrednjenih fluktuacionih proizvoda, po x1, i po vremenu jednaki nuli.
Fluid je nestisljiv.
a) Za navedeni slucaj napisati jednacinu mehanicke energije za glavno strujanje, primenljivu u svakoj tacki - to je jednacina navedena u knjizi sa (53-25). Pri pisanju koristiti iskljucivo indekse 1, 2, 3, a ne uopstene (i, j) i izostaviti one clanove koji su u posmatranom slucaju jednaki nuli.
Od zapreminskih sila deluje samo tezina, pa rad te sile treba zdruziti sa radom pritiska, koris\'cenjem pijezometarske kote.
b) Da li se za jednu tacku moze [`(uj)][([`(sijd)])/(xi)] zameniti sa -[`(sijd)][([`(uj)])/(xi)] (tj. da li se motorni i deformacioni rad devijatorskih napona medjusobno izravnotezavaju).
c) Da li se za jednu tacku moze zameniti [`(uj)][([`(sijd)])/(xi)] sa -sijt [([`(uj)])/(xi)].
Zadatak 3.
R_XV_3.png
d = precnik zrna
gs = specificna tezina zrna
g, r = specificna tezina i gustina vode
t = tangencijalni napon na zidu
n = m/r = kinematski koeficijent viskoznosti
Grafikon na slici prikazuje granicu stabilnosti dna pravougaonog kanala sastavljenog od pokretnih pescanih zrna precnika d. Zadatak se posmatra kao ravanski sa jednolikim tecenjem vode.
Prikazanu granicu nepokretnosti zrna, prema grafikonu, odredjuje medjusobna veza dve bezdimenzionalne velicine
 t
(gs-g)d
        
d
Ö
t/r
n
Navedenu granicu odredjuje medjusobna veza slede\'cih dimenzionalnih velicina
d, rs, r, g,  t, m, ili n
jer se zrno precnika d i gustine rs, svojom tezinom suprotstavlja teznji vode da ga pokrene, sto izrazava napon trenja t vode o dno (o zrno nanosa). Uticaj tezine unosi gravitaciono ubrzanje g. Fizicke karakteristike vode predstavljaju njena gustina r i koeficijent viskoznosti m.
Kako na pojavu utice tezina zrna "olaksana u vodi", treba uzeti (rs-r)g=gs-g, a pored toga, ne treba jos uzeti i gustinu rs, jer se zrno ne kre\'ce, pa nema njegovih inercijalnih uticaja. Sa druge strane, ne treba gravitaciono ubrzanje g uzeti u obzir za kretanje vode, jer se uticaj tezine uravnotezava sa trenjem, a ono je uneto naponom t. Navedeno dozvoljava da se veza 6 navedenih velicina smanji na vezu 5 velicina, a onda primenom dimenzionalne analize to smanjuje na 2 bezdimenzionalne velicine. Obaviti postupak i pokazati da su to bezdimenzionalne velicine cija je veza prikazana slikom.
*         *         *
Sta znaci kad se postigne:
 t
(gs-g)d
 =Const.
Da li to ima veze sa uticajem viskoznosti i sa ponasanjem dna (glatko, hrapavo)?
XVI
Zadatak 1.
R_XVI_1.png
Za raspored brzina u turbulentnom granicnom sloju uz hrapavu plocu daje se slede\'ci izraz
u1

Ö
t/r
 =11 æ
è 		 x2
k
 ö
ø 		1/8

 
gde je:
                       
[`(u1)] = osrednjena brzina u pravcu paralelnom sa plocom
t = napon trenja izmedju ploce i fluida
r = gustina
x2 = rastojanje od ploce
k = apsolutna hrapavost




Navedeni obrazac daje vezu dve bezdimenzionalne velicine [`(u1)]/(t/r)1/2 i x2/k, sto je zamena za vezu 5 dimenzionalnih velicina, pa brzina [`(u1)] zavisi onda od t, r, x2 i k. Takva veza je prihvatljiva u odredjenim uslovima (da li ona uticaj viskoznosti smatra zanemarljivim i da li je to opravdano). Zasto [`(u1)] ne zavisi od debljine d sloja, i od neporeme\'cene brzine U, kada one obrazuju raspored brzina (ili je to dato posredno).
Napisati izraz po kome bi se racunao napon trenja (t) duz ploce - u funkciji rastojanja x1 od pocetka ploce, - pod pretpostavkom da je granicni sloj turbulentan, uz hrapavu plocu, i uz navedeni granicni uslov.
Izvodjenje \'ce dovesti do izraza
Ct=Ct æ
è 		 x1
k
 ö
ø 		    gde je    Ct=  t
 1
2
 rU2
Zadatak 2.
Glavno (osrednjeno) strujanje je ustaljeno, krivolinijsko i paralelno u pravcu (1), pa je [`u] = [`u]1, [`u]2 = [`u]3 = 0. Ono je ravansko - u ravni (1,2). Strujanje je ograniceno ravnim plocama, postavljenim normalno na pravac (2), a medjusobno rastojanje ploca (= debljina struje) je 2h. Fluid je nestisljiv. Za raspored brzina daje se zakonitost

um
 
 -
u
 

Ö
t/ r
 = 2.5 ln  h
x2
gde je x2 rastojanje od ploce, a [`(um)] brzina u sredini struje, za x2 = h, dok su t i r napon izmedju fluida i ploce, odnosno gustina.
Raspored turbulentnih "napona" odredjuje se uz uslov zanemarenja devijatorskih napona sijd = sijturb.
Sa Pr oznacava se "produkcija" turbulentne energije po jedinici zapremine i u jedinici vremena.
Sracunati odnos

 Pr(za  x2=0.1 h)
Pr(za  x2 = 0.9h)
*         *         *
Sracunati Pr za x2 = 0.05 m uz slede\'ce vrednosti:
- gustina fluida r = 1 kgdm-3,
- prosecna (srednja) brzina strujanja v = 8 ms-1,
- koeficijent napona trenja Ct = 0.005,     Ct = [(t)/([ 1/2]rv2)],
- debljina struje 2h = 0.8 m.
Zadatak 3.
I. Kanalom sa konstantnim nagibom dna (=I) i konstantnim poprecnim presekom (A) tece struja ustaljeno i jednoliko, sa proticajem Q. Na duzini L kanala rad tezine, u jedinici vremena, iznosi gI Q L (g = specificna tezina). Da li se taj iznos moze porediti sa "produkcijom" turbulentne energije
ó
õ

Vc 
 r
ui¢uj¢
 
uj
 
xi
  dV
u zapremini Vc jednakoj A·L.
Pri ovom razmatranju zanemariti dejstvo devijatorskih napona [`(sijd)] u odnosu na napone turbulencije sijt.
II. Izraz za "produkcije" napisati u razvijenom obliku koriste\'ci iskljucivo indekse 1, 2 i 3, a ne uopstene (i,j) i pri tome izostaviti sve one clanove koji su u datom primeru jednaki nuli.
III. Na sta se trosi "produkcija" turbulentne energije?
XVII
Zadatak 1.
Predmet zadatka je hidraulicki skok u pravougaonom kanalu.
Dubina ispred skoka oznacva se sa hI, a FROUDE-ov broj u istom preseku sa FrI, gde je FrI=vI2/ghI, posto vI oznacava srednju brzinu u tom preseku.
Dubina iza skoka odredjena je obrascem
hII=  hI
2
 æ
è
Ö
 
1+8FrI
 
 -1 ö
ø 		                (1)
I) Obrazloziti primenom koje jednacine se doslo do obrasca (1), i pod kojim uslovima (sta se zanemaruje?).
II) Da li ista jednacina dozvoljava i resenje sa suprotnim smerom strujanja II ka I. Ako dozvoljava zasto to prakticno nije ostvarivo?
III) Da li resenje prema (1) name\'ce odredjeni gubitak energije? Pokazati to za FrI=10.
Zadatak 2.
Kroz oba preseka nestisljive struje (I i II) osrednjeno strujanje je pravolinijsko i paralelno, normalno na presek [[`(u2)]=[`(u3)]=0]. Fluid je nestisljiv.
Na zapreminu V (od I do II) primenjuje se jednacina (53-26) u knjizi. Predmet zadatka su neki clanovi te jednacine, primenjene na posmatrani primer.
I. Pokazati da se
r ó
õ

V 
fj
 
uj
 
 dV + ó
õ

A 
 -
p
 
 nj
uj
 
 dA
moze svesti na jedan povrsinski integral (koji treba integrisati samo po povrsini preseka AI i AII), ako je zapreminska sila tezina (fj=-gZ/xj) i ako se uvede pijezometarska kota P umesto Z+p/rg, gde je Z polozajna kota. Napisati navedeni povrsinski integral razdvojen po presecima AI, AII.
R_XVII_2.png
II. Pokazati da se
ó
õ

V 
sijd
 
xi
uj
 
 dV         (1)
moze zameniti sa
ó
õ

V 
 -
sijd
 
uj
 
xi
 dV = - ó
õ

V 
 2m
wijd
 
  
wijd
 
 dV        (2)
gde je m koeficijent viskoznosti, a [`(wijd)] brzina deformacije devijatorskog dela.

    a) objasniti da li se navedeni integral (2) moze preobratiti u povrsinski;
    b) navesti sta znaci integral (1) a sta (2);
    c) [`(wijd)]  [`(wijd)] napisati razvijeno koriste\'ci parcijalne izvode brzine po koordinatama
    (uj/xi), ali sa indeksima 1, 2, 3, a ne uopstenim (i, j).
III. Da li se
ó
õ

V 
uj
 
  sijt
xi
 dV     gde je     sijt=-r
ui¢uj¢
 
     (a)
moze zameniti sa
-  ó
õ

V 
 sijt
uj
 
xi
 dV         (b)
Ako ta zamena (za dati zadatak) nije mogu\'ca, napisati razliku (a) - (b), i to u vidu povrsinskog integrala, u kome \'ce se pojaviti gustina i brzine (osrednjene i fluktuacione). Treba koristiti indekse 1, 2, 3, a ne uopstene (i, j). Izostaviti sve one clanove koji su u posmatranom zadatku jednaki nuli. Napisati krajnji rezultat razdvojivsi po presecima.
Zadatak 3.
Posmatra se turbulentna struja izmedju dve paralelne ploce, na medjusobnom rastojanju 2h. Pravac osrednjenih brzina je 1, ploce su normalne na pravac 2.
u1
 
 =
u1
 
 (x2)        
u2
 
 =
u3
 
 =0
Gubitak energije za glavno strujanje posmatra se u dve oblasti.
I) Viskozni laminarni podsloj uz zid, gde je brzina u1 srazmerna rastojanju x2 od ploce. Debljina toga podsloja je dc, na njegovoj granici (x2=dc) brzina je u1=uc. Gubitak energije u podsloju predstavlja deformacioni rad, koji posredstvom viskoznosti, mehanicku energiju pretvara u toplotu. Iznos toga rada, po jedinici zapremine i u jedinici vremena, je sijd uj/xi.
II) Turbulentini sloj, u kome se brzina ponasa po zakonu
u1
u
 
max 
 = æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/7

 
gde je [`u]max=[`(u1)] za x2=h.
U tom sloju gubitak za glavno strujanje je u "produkciji" turbulentne energije u fluktuacijama, sto izrazeno po jedinici zapremine, i u jedinici vremena, iznosi sijt [`(uj)]/xi gde je sijt = "napon turbulencije" -[`( rui¢uj¢)]. U ovom sloju gubitak usled napona sijd, tj. posredstvom viskoznosti je zanemarljiv.
*         *         *
Posmatra se odnos
 Gubitak u I
Gubitak u II
 =j
Za I se uzima gubitak u zapremini podsloja debljine dc, dok se za duzinu (u pravcu 1), i za sirinu (u pravcu 3) uzimaju proizvoljne vrednosti L1 i L3.
Za II, strogo uzevsi, bi trebalo uzeti sloj od x2=dc do x2=h (sa istim L1 i L3 kao u I), ali se moze integrisati od x2=0 do x2=h, jer je debljina dc veoma malena.
*         *         *

    a) Pokazati da se j moze izraziti sa
    j = Const  uc
    umax
    i odrediti vrednost konstante.
    b) Oceniti vrednost odnosa j uz pretpostavke:

      1) [(uc dc)/(n)]=Rec= karakteristican Re-broj za podsloj =100.
      2) umax2[ 1/2]rCt=t = napon trenja izmadju ploce i fluida. Treba uzeti u obzir da se vrednost Ct kre\'ce od 0.002 do 0.005.
XVIII
Zadatak 1.
Posmatra se proticaj kolicine kretanja kroz presek (postavljen na osovinu 1) turbulentne struje izmedju dve paralelne ploce (postavljene normalno na osovinu 2), a na me- djusobnom rastojanju 2h). Zadatak je ravanski: u ravni (1,2). Fluid je nestisljiv.
Simetralna ravan je x2=h, x2 = rastojanje od zida. Usled simetricnosti strujanja dovoljno je odrediti raspored brzina do simetralne ravni. Neka je on dat sa
u1
 
 =
um
 
 æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/7

 
        
u2
 
 =0
I. Uporediti proticaje kineticke enrgije kroz presek ako se racuna sa navedenim rasporedom brzina i ako se izrazava sa rQv (r = gustina, Q = proticaj, v = prosecna brzina kroz presek).
II. Koliko osrednjeni proticaj kineticke energije pove\'cava uticaj poduznih fluktuacija brzine ako je
ó
õ

A 
u1¢u1¢
 
  dA=0.01v2A
A = poprecni presek struje
III. Osrednjeni proticaj kolicine kretanja (to je vektor) sem komponente u pravcu strujanja sa I i II moze da ima komponente koje leze u ravni poprecnog preseka. U datom slucaju to je komponenta u pravcu 2, koja je jednaka
ó
õ

A 
 r
u1¢u2¢
 
 dA
a) Da li je ova komponenta u zadatom primeru jednaka nuli?
b) Da li je jednaka nuli i za polovinu preseka od x2=0 do x2=h?
Napomena: Treba se podsetiti da je
-r
u1¢u2¢
 
 =sijt
i da se pretpostavlja da je napon koji deluje posredstvom viskoznosti [`(sijt)] zanemarljiv u odnosu na sijt.
Zadatak 2.
Uz ravnu plocu, uronjenu u ravnomernu struju (u=u1=U=Const) obrazuje se granicni sloj (ploca je postavljena paralelno sa pravcem strujanja (1)). Neka je sloj celom duzinom laminaran. Sracunati slede\'ce odnose
(a)
=
 sila trenja na deo ploce od I do II
siletrenja na celu plocu
(b)
=
 tI
tII
 =  napon trenja u I
napontrenja u II
(c)
=
 dI
dII
 =  debljina sloja uI
debljina sloja u II
R_XVIII_2.png
Fluid je nestisljiv.
Pokazati da su navedeni odnosi (a) (b) (c) nezavisni od izbora funkcije f rasporeda brzina
u1
U
 =f æ
è 		 x2
d
 ö
ø
ako ta funkcija vazi za sve preseke (ako ne zavisi od x1).
Zadatak 3.
R_XVIII3.png
Za struju izmedju dve paralelne i horizontalne ploce daje se raspored brzina
u1=  U
H
 x2         u2=0
Za taj slucaj napisati izraze kojima se odredjuje (u funkciji x1 i x2) raspored:
  1. pritisaka p

  2. devijatorskog napona s12=s21

  3. ubrzanja

  4. motornog i deformacionog rada.

XIX
Zadatak 1.
R_XIX_1.png
Za jedan slucaj ravanskog strujanja, u odredjenom trenutku, u obelezenim tackama su:
               
a b c d
brzine (cm/s) u2 60 62 62 60
u3 40 44 39 45

Za deli\'c u tacki (C), u sredini kvadrata, odrediti:

    I) Komponente ubrzanja u pravcima (2) i (3) i na osnovu njih graficki prikazati rezultuju\'ce ubrzanje (ubrzanje je vektor), pod uslovom da se za jednu sekundu sve brzine pove\'cavaju za 3 cm/s.
    II) Pove\'canje (ili smanjenje) pritiska posmatranog deli\'ca u pravcu x2 i u pravcu x3, tj. sracunati razlike pritisaka pb-pa, odn. pd-pc. Fluid se moze smatrati idealnim i nestisljivim. Osovina x2 je horizontalna, a osovina x3 je vertikalna. Gustina fluida je r = 1 kg/dm3
Zadatak 2.
R_XIX_2B.png
Vodeni tok u pravougaonom kanalu usporavaju 4 stuba (horizontalni presek stuba je krug precnika 0.2m).
U presecima 1-1 i 2-2 vlada hidrostaticka raspodela pritisaka, a koeficijent neravnomernosti brzina iznosi b1 = 1.03 u preseku 1-1, i b2=1.06 u preseku 2-2.
Koeficijent neravnomernosti brzine odredjen je sa
b =
ó
õ

A 
 u2 dA
v2 A

    $u =$ brzina u pojedinoj tacki preseka A
    $A =$ povrsina poprecnog preseka
    $v =$ prosecna brzina u preseku, v=Q/A
Odrediti:
  1. Silu na pojedini stub (F).
    Napomena: svi stubovi primaju podjednaku silu (iste vrednosti).

  2. Koeficijent sile za pojedini stub CF,
    CF=  F
     1
    2
    		 rv22 Ast
    r = gustina vode, Ast = poprecni presek stuba = D h2.

Zadatak 3.
I. Jednacinu toplote za konacnu zapreminu - to je jednacina (34-20) u knjizi - prilagoditi turbulentnom strujanja tako da se u njoj ne pojavljuju trenutne vrednosti ve\'c osrednjene vrednosti i fluktuaciona odstupanja, tj. za temperaturu q = [`(q)]+q¢, za brzinu uj=[`(uj)]+uj¢, itd. a za uslove da su specificna toplota (C) i koeficijent provodljivosti (l) konstante, kao i da se osrednjena temperatura u nekoj tacki ne menja kroz vreme. Gustina je r = Const.
II. Istu jednacinu skratiti pod pretpostavkom da je provodjenje (kondukcija) toplote zanemarljivo, kao i dobijanje toplote deformacionim radom.
III. Jednacinu napisanu za uslove pod II. primeniti na slede\'ci primer.
R_XIX_3.png
U bloku pravougaonog kanala sirine B u kome je dubina h=Const. nalazi se mo\'cni toplotni izvor koji greje vodu i toplota se siri kanalom, zahvaljuju\'ci turbulenciji, jer su osrednjene brzine
u1
 
 =U=Const,        
u2
 
 =0
Osrednjeno strujanje je ustaljeno.
U pravcu (1) proticanje fluktuacijama je zanemarljivo u odnosu na osrednjeno, tj.
q
 
u1
 
 >>
q¢u1¢
 
Osrednjena temperatura po jednoj vertikali zanemarljivo sa menja (moze se uzeti da je konstantna) tj.
q
 
x3
 = 0, odnosno  q = q(x1,x2)
Raspored osrednjenih temperatura po preseku II je dat izrazom
qII
 
 =
qIIo
 
 æ
è 		2  x23
bII3
 -3  x22
bII2
 +1 ö
ø 		   za  0 < x2 < bII
gde je [`(qIIo)] temperatura na zidu u preseku II (u tacki N) dok se za q = 0 uzima temperatura nezagrejane vode. Kroz ravan n-n (vidi skicu) protice toplota zavisno od osrednjenog proizvoda fluktuacija temperature i poprecne brzine [`(q¢u2¢)]. Za celu duzinu n-n prosecna vrednost toga proizvoda je
q¢u2¢
 
prosecno 
 =  1
l
 ó
õ 		xII
xI 
q¢u2¢
 
  dx1
Sracunati odnos
y =
q¢u2¢
 
prosecno 
qIIo
 
 U
IV. Sracunati energiju koja se prenosi kroz navedenu ravan n-n za 3 minuta sa podacima za vodu:
gustina r = 1kg/dm3
specificna toplota C=4200 [ J/kgK]
K=1oC (temperaturni stepen po Kelvinu ili Celziju)
temperatura na zidu u preseku II [`(qIIo)]=15oC
sirina kanala B=2.0m
dubina toka h=1.6m
brzina toka U=0.8m/s.
XX
Zadatak 1.
R_XX_1.png
Vodena struja izmedju dve paralelne ploce (na medjusobnom rastojanju jednakom 2h) nosi materijal cija je koncentracija u datom trenutku:
u preseku I: C=C0,I(1-Ö{2x2/h}) za 0 < x2 < h/2
C=0 za h/2 < x2 < 2h
u preseku II: C=C0,II(1-Ö{4x2/h}) za 0 < x2 < h/4
C=0 za h/4 < x2 < 2h
(presek II je udaljen za duzinu L od preseka I)
x2 = rastojanje od donje ploce,
C0,I i C0,II su koncentracije na dnu.
Pod koncentracijom C se podrazumeva odnos proticaja mase materijala (koga voda nosi) i proticaja mase vode koji u datom trenutku teku kroz elementarni pojas na rastojanju x2.
Raspored brzina vode u datim presecima je istovetan i izrazava se sa:
u=um æ
è 		 x2
h
 ö
ø 		1/6

 
za donju polovinu struje (za 0 < x2 < h), dok je za gornju polovinu raspored simetrican u odnosu na sredinu struje (x2=h).
um=brzina u sredini struje
Prethodni navodi ukazuju da se zadatak resava kao ravanski (u ravni 1,2).
I) Sracunati kolika je u posmatranom trenutku brzina pove\'canja natalozenog materijala izmedju preseka I i II, po jedinici sirine (sirina se meri upravno na posmatranu ravan). Trazena velicina ima dimenziju ([ masa/vreme x duzina]). Racun obaviti za slede\'ce podatke:

L=10m, h=8m, C0,I=0.005, C0,II=0.004, um=65cm/s i
gustina vode r = 1g/cm3.
II) Pod pretpostavkom da se dati podaci mogu uzeti kao prosek za tecenje u trajanju od 1 minutu, koliko se pove\'cava masa deponovanog materijala?
Zadatak 2.
R_XX_2.png
Posmatra se ravanska ustaljena struja nepromenljive debljine izmedju dva poprecna preseka - I i II - zahva\'cena zapremina iznosi Vc.
I) Uz potrebno obrazlozenje pokazati koliko iznosi ukupan rad (motorni + deformacioni), u jedinici vremena, na zapreminu Vc, usled delovanja slede\'cih napona:
  • osrednjenih napona posredstvom viskoznosti, tj. osrednjenih devijatorskih napona [`(sijd)],

  • "napona turbulencije" sijt=-r[`(u¢iu¢j)]

II) Na osnovu rezultata dobijenog pod I pokazati vezu izmedju motornog i deformacionog dela rada navedenih napona (napominje se da se deformacioni rad "napona turbulencije" obicno naziva "produkcija turbulencije").
III) Primenom jednacine mehanicke energije za glavno strujanje nestisljivog fluida, na konacnu zapreminu Vc (izmedju preseka I i II), a to je jednacina (53-26) u knjizi, povezati pijezometarsku razliku PI-PII sa deformacionim radovima usled delovanja napona [`(sijd)] i sijt. Pretpostaviti da je pijezometarska kota konstantna za jedan presek.
Iz prethodnoga razjasnjenja sledi i povezivanje navedenih radova sa tzv. "izgubljenom energijom" izmedju preseka I i II:
EizgI-II=PI +  vI2
2g
 - æ
è 		PII +  vII2
2g
 ö
ø
gde je vI=vII srednja brzina u presecima I i II.
IV) Objasniti kuda odlazi ono sto se obicno opisuje kao Eizg. Pri tome obrazloziti sta se racunski prenosi u fluktuacije (i sta sa time biva u fluktuacijama), a sta se jos u okviru glavnog strujanja izgubi. Ako je zid hrapav koji je deo zanemarljiv?
Zadatak 3.
U pravougaoni kanal sa horizontalnim dnom utice kroz deset proreza u dnu ukupno 2.5m3/s (kroz svaki prorez po 0.25m3/s). Doticanje utice u kanal sa brzinom W=2.2m/s pod uglom od 60o prema horizontali.
Na kraju sabirnog kanala uspostavlja se kriticna dubina.
Sracunati dubinu H na pocetku kanala.
Trenje se zanemaruje.
I) Da li bi se, na osnovu datih podataka, zadatak mogao resiti i da je dno kanala nagnuto (nije horizontalno)?
II) Da li bi dubina (H) bila ve\'ca (ili manja) da je ulazna brzina (W) vertikalno usmerena?
III) Zapremina vode u kanalu od preseka gde je dubina H do preseka gde je dubina hkr iznosi V0, a tezina te mase G=rg V0. Da li se sila na dno razlikuje od sile G?
R_XX_3.png
XXI
Zadatak 1.
R_XXI_1.png
                                             
Kroz presek Ac (krug poluprecnika = r) ulazi struja sa osrednjenim brzinama usmerenim normalno na presek (u pravcu "1").
Napisati izraze za ulaz kineticke energije u jedinici vremena kroz presek Ac, tj. proticaja te energije, i to:
  1. u osrednjenom (glavnom) strujanju

  2. u fluktuacijama, prenosom osrednjenom brzinom (konvekcija)

  3. u fluktuacijama, prenosom fluktuacionim brzinama (difuzija)

Ti proticaji, samo uz ogranicenje na presek Ac, napisani su kao prvi clan desnih strana jednacina (53-26), odnosno (53-32).
Napomena: Izraze ne pisati sa uopstenim indeksima "i", "j", nego sa indeksima "1", "2" i "3", i pri tome izostaviti sve sabirke koji su u posmatranom primeru jednaki nuli.
*         *         *
I Sracunati odnos ulazenja navedenog pod (2) u odnosu na izraz pod (1). Pri tome koristiti slede\'ce zakonitosti:

    a) Osrednjena brzina [`u] u pojedinoj tacki odredjena je sa:
    u
    um
    		 = æ
    è     		 x2
    r
    		 ö
    ø     		1/7

     
    gde se [`(um)] odnosi na brzinu u sredistu preseka (x2=r), a x2 je udaljenost od zida.
    b) Pri izracunavanju navedenog pod (2) koristiti eksperimentalna iskustva na osnovu kojih se moze napisati:
    uj¢uj¢
    um
     
    		 2
     
    		 =0.02 æ
    è     		1-  x2
    r
    		 ö
    ø
II Zakljuciti da je odnos ulazenja pod (3) zanemarljiv u odnosu na (1), gde se moze pretpostaviti da je (3) vise nego 10 puta manje od (2).
III Sracunati ulazenje kineticke energije u jedinici vremena ako se racuna bez vodjenja racuna o neravnomernosti u rasporedu brzina, tj. sa
rQ  v2
2
 =rAc  v3
2
gde je v = srednja brzina za presek
v=  1
Ac
 ó
õ

Ac 
u
 
 dA
i uporediti sa ulazenjem navedenim pod (1) u uvodu zadatka, odnosno sa zbirom ulaza pod (1) i (2). Napisati zakljucak iz tog uporedjenja.
Zadatak 2.
Posmatra se turbulentna struja u cevi poluprecnika r, koja se pruza duz cevi, u pravcu (1), pa su osrednjene brzine: [`(u1)] = [`u], [`(u2)]=[`(u3)]=0.
Osrednjeni proizvod fluktuacionih brzina moze se izraziti sa:
-
u1¢u2¢
 
 =  r
14
   æ
Ö
 t
r
 
d
u
 
dx2
                 (1)
x2 = rastojanje od zida cevi, merno po bilo kome precniku
t = napon trenja izmedju fluida i zida cevi
r = gustina fluida (r = const.)
I Raspored "deficita brzine" obicno se daje u vidu funkcije
um
 
 -
u
 

Ö
t/r
 =f æ
è 		 x2
r
 ö
ø 		                (2)
[`(um)] = vrednost brzine [`u] za x2 = r.
Odrediti ovu funkciju ako vazi zakonitost data sa (1).
Napomena: U racunanju prihvatiti uobicajenu pretpostavku da su devijatorski naponi (koji deluju posredstvom viskoznost) zanemarljivi u odnosu na "napone turbulencije".
II Funkciju dobijenu resenjem zadatka pod (I) uporediti sa preporucivanim obrascima za raspored brzina u turbulentnom sloju izuzimaju\'ci blizinu zida.
um
 
 -
u
 

Ö
t/r
 =C æ
è 		1-  x2
r
 ö
ø 		2

 
                 (3)
C = konstanta
Uporediti izraz (3) i resenje dobijeno pod (I).
III Prema funkciji dobijenoj pod (I) mogu se sracunati odnosi [`u]/[`(um)] za slede\'ce vrednosti x2/r:
1         0.8         0.6         0.4         0.2
Racun sprovesti za napon trenja t dat sa
t = Ct  1
2
 r
um
 
 2
 
         Ct=0.005
Za blizinu zida funkcija ne vazi ali se za x2=0 ostvaruje [`u]=0.
Na osnovu sracunatog graficki prikazati funkciju:
u
um
 =f æ
è 		 x2
r
 ö
ø
Vrednosti dobijene pod (III) uporediti sa onima koje daje
u
um
 = æ
è 		 x2
r
 ö
ø 		1/7

 
Zadatak 3.
R_XXI_3.png
Osrednjeno strujanje oko stuba je simetricno u odnosu na ravan S-S, pa sila koja u pravcu N deluje na stub potice samo od fluktuiraju\'cih pritisaka (p¢).
I) Eksperimentima je utvrdjeno da je srednje kvadratno odstupanje (standardna devijacija) fluktuiraju\'cih pritisaka u tackama (a) i (b)
  æ
Ö
pa¢2
 
 =   æ
Ö
pb¢2
 
 = 7.18 kN/m2
Merena je takodje i istovremna razlika pritisaka pa¢-pb¢=pc¢ i ustanovljeno je da je
  æ
Ö
pc¢2
 
 =8.45 kN/m2
Koliki je koeficijent korelacije Kab izmedju istovremenih pritisaka u (a) i (b), gde je
Kab=
pa¢pb¢
  æ
Ö
pa¢2
 
   æ
Ö
pb¢2
 
II) Pod pretpostavkom da pritisci u (a) i (b) predstavljaju i prosecne pritiske na bocne povrsine, sila iznosi
F¢=(pa¢-pb¢)A=pc¢A
odnosno maksimalna ocekivana sila je
Fmax¢ = (pa¢-pb¢)max A = pcmax¢A
uzimaju\'ci da je maksimalna ocekivana razlika pritisaka jednaka trostrukoj standardnoj devijaciji pa je
Fmax¢=3   æ
Ö
pc¢2
 
 A=3·8.45kN/m2 ·0.8m2 = 20.28N
Kolika bi ta sila iznosila ako bi koeficijent korelacije Kab bio:
+1                 0                 -1
Protumaciti rezultate.
XXII
Zadatak 1.
R_XXII_1.png
                                                                               
tacka -[`(u1¢u2¢)] [`(u2¢u2¢)]
a 30.0 25.0
b,c,d 34.2 24.7
e 38.4 24.8
cm2/s2
Osrednjeno strujanje je ustaljeno, ravansko - u ravni (1,2), pravolinijsko i paralelno - u pravcu (1), tj. [`(u2)]=0, a [`(u1)] = [`(u1)](x2) (brzina [`(u1)] zavisi samo od x2). Za tu brzinu, a za tri rastojanja x2 date su vrednosti na crtezu.
Osa (1) je horizontalna, a osa (2) vertikalna, usmerena na gore.
Osrednjeni proizvodi fluktuacionih brzina dati su u tabeli pored slike.
- Gustina fluida je r = 1 g/cm3,
- Koeficijent viskoznosti je m = 0.012g/cm s.
Sracunati razlike pritisaka za tacke (d) i (b) i tacke (e) i (c), tj.
pd-pb         i         pe-pc.
Zadatak 2.
R_XXII2A.png
R_XXII2B.png
                                                               
Sracunati dubinu hII, a na osnovu zadatih (i upisanih podataka). Sila trenja o dno je zanemarljiva, ali nije zanemarljiva tezina. Rezultat uporediti sa skokom sa istim polaznim uslovima, ali na horizontalnom dnu.
Zadatak 3.
R_XXII_3.png
Strujanje je laminarno, ustaljeno, ravansko, pravolinijsko i paralelno, sa konstantnom dubinom (h) nestisljive tecnosti.
1) Za prikazani primer odrediti zavisnost napona s21 od rastojanja x2 od dna (s21=s21(x2)) i to graficki prikazati za primer u kome su:
dubina h=2 cm
nagib dna I=0.001
koeficijent viskoznosti tecnosti m = 0.012 Ns/m2
gustina tecnosti r = 900 kg/m3
Za granicni uslov uzeti da je napon s21 na slobodnoj povrsini tecnosti (za x2=h) jednak nuli.
Koristiti uslov da je zbog jednolikosti tecenja istovetan raspored napona i brzina u svim poprecnim presecima.
2) Za isti primer odrediti raspored brzina po poprecnom preseku (u1=u1(x2)) i to graficki prikazati. Pri ovom odredjivanju koristiti vezu izmedju napona i deformacija za Njutnovski fluid, izrazenu jednacinom (41-7) primenjenom na nestisljiv fluid.
Za granicni uslov uzeti da je brzina na dnu (za x2=0) jednaka nuli.
3) Sracnati proticaj Q za 50 cm sirine prikazane struje.
XXIII
Zadatak 1.
U cevi kruznog preseka (precnik =D, povrsina preseka =A=pD2/4) pri jednolikom tecenju sa srednjom brzinom (V) u preseku (V=Q/A, Q= proticaj), nagib pijezometarske linije racuna se uobicajenim obrascem:
I=l  V2
2gD
Za koeficijent trenja (l) daje se izraz:
l = 0.15 æ
è 		 k
D
 ö
ø 		2/7

 
gde je k = apsolutna hrapavost.
Pokazati da se navedeni obrazac dobija za raspored brzina
u

Ö
t/r
 =C æ
è 		 x2
k
 ö
ø 		1/7

 
gde je ([`u]) brzina na rastojanju (x2) od zida cevi.
Sracunati vrednost konstante (C) koja dovodi do napisanog izraza za (l).
*         *         *
Za navedeni raspored brzina sracunati koeficijente neravnomernosti brzina
b =
ó
õ

A 
u
 
 2
 
 dA
AV2
        a =
ó
õ

A 
u
 
 3
 
 dA
AV3
Zadatak 2.
Za laminarno, ustaljeno, paralelno i pravolinijsko strujanje (usmereno u pravcu 1), koje je uz to i ravansko [u ravni (1,2)], a odvija se izmedju dve paralelne ploce (postavljene normalno na osu (2) a na medjusobnom rastojanju (2h), sracunati koji se deo deformacionog rada devijatorskih napona obavi u sredisnjem delu struje u odnosu na rad u celoj struji (vidi skicu, gde je sredisnji deo osencen).
R_XXIII2.png
*         *         *
Za tacku uz zid (x2=0), gde je deformacioni rad najizrazitiji, a gde je brzina jednaka nuli pa je materijalni izvod temperature Dq/Dt jednak parcijalnom izvodu po vremenu q/t, primenom jednacine (34-18) iz knjige, sracunati za koliko \'ce se pove\'cati temperatura za jednu sekundu, usled preobra\'canja deformacionog rada u toplotu. Zanemaruje se provodjenje toplote (kondukcija) i predavanje toplote zidu.
Racunati sa konstantnim koeficijentom viskoznosti n = m/r = 0.8cm2/s, i specificnom toplotom (konstantom) C=2600J/kgK=2600Nm/kgK, sto odgovara 2600 m2s-2K.
Brzina u sredini struje (x2=h) iznosi um=5cm/s, a debljina struje 2h=2cm.
Protumaciti rezultat
Zadatak 3.
Trajektorije deli\'ca koji prolaze kroz koordinatni pocetak (x1=0, x2=0) su prave linije izrazene sa
x2=  t0
tk
 x1                         (1)
t0 = trenutak prolaska kroz koordinatni pocetak
tk = Const = 10s
Nacrtati trajektorije za deli\'ce za koje je (t0) jednako:
0         2         4         6         8        10         (s)
Brzina u1 (u pravcu x1) za sve deli\'ce je ista i ne menja se kroz vreme. Ona iznosi
u1=Const=U=0.2m/s
sto znaci da se deli\'c za vreme (ts - t0) pomeri u x1 pravcu za
x1=U(ts-t0)                     (2)
Na osnovu toga obeleziti tacke na trajektorijama gde se deli\'ci nalaze u trenutku ts i nacrtati emisionu liniju u trenutku ts=10s, koju zauzimaju deli\'ci koji su prosli kroz koordinatni pocetak.
Napisati analiticki izraz te emisione linije, u vidu
x2=x2(x1)
na osnovu jednacina (1) i (2).
*         *         *
Napisati izraz za emisionu liniju koju zauzimaju deli\'ci u trenutku ts=8s. Nacrtati tu liniju.
XXIV
Zadatak 1.
Raspored brzina u cevi kruznog poprecnog preseka izrazen je sa:
um
 
 -
u
 

Ö
t/r
 =2.5 ln  r
x2
r = poluprecnik cevi
x2 = rastojanje od zida cevi
[`u] = kroz vreme osrednjena brzina u pojedinoj tacki
[`(um)] = brzina u osovini cevi (za x2=r)
t = napon trenja izmedju zida cevi i fluida
r = gustina
I Brzina [`u] jednaka je srednjoj brzini v za presek na relativnom rastojanju x2/r jednakom x. Sracunati x.
v=  Q
pr2
         Q=proticaj
II Za vrednost za x sracunatu pod I odrediti relativnu gresku izmedju brzine [`u] i srednje brzine v, tj. trazi se odnos:
u
 
 (x)-v
v
a za raspored brzina:
u
um
 = æ
è 		 x2
r
 ö
ø 		1/6

 
        
u
um
 = æ
è 		 x2
r
 ö
ø 		1/8

 
Zadatak 2.
R_XXIV_1.png
                                                       
Zatvoreni sud potpuno je napunjen vodom. U njemu elisa pokre\'ce vodu. Prestankom rada elise kretanje vode se smiruje, i na kraju se potpuno umiri.
Pocetak posmatranja (t=0) je trenutak prestanka rada elise, a kraj posmatranja (t=T) je posle potpunog umirenja vode.
Kineticka energija za celokupnu zapreminu vode Vs u sudu iznosi:
e=  r
2
 ó
õ

Vs 
 ujuj dV
r = gustina, uj = brzina
e=e(t) tj. (e) je funkcija od vremena (t).
Za t=0 je, prema tome:
e(0)=  r
2
 ó
õ

Vs 
 ujuj(0)dV
(1)
Deformacioni rad devijatorskih napona, u jedinici vremena, za zapreminu Vs, iznosi
Defd= ó
õ

Vs 
 sijd  uj
xi
 dV
Defd je funkcija od vremena (t). Posmatra se integral
ó
õ 		T
0 
 Defd dt
(2)
To je rad u intervalu od t=0 do t=T.
Pokazati kakva je veza izmedju izraza (1) i (2).
Napomena: Primeniti jednacinu mehanicke energije (34-6) koja vazi za odredjeni trenutak i u njoj izostaviti clanove jednake nuli (za posmatrani primer). Potom integrisati po vremenu. Pri razmatranju motorni rad povrsinskih sila predstaviti kao ukupni rad umanjen za deformacioni. Od zapreminskih sila deluje samo tezina, a njen rad moze se iz zapreminskog integrala preobratiti u povrsinski. Gustina je konstantna r = Const.
Zadatak 3.
R_XXIV3A.png
a. Za prikazani polozaj zatvaraca smestenog u horizontalno polozenoj cevi pravougaonog preseka, iza zatvaraca tecenje je sa slobodnom povrsinom uz pristup vazduha (aeracija). To burno tecenje hidraulickim skokom prelazi u tecenje pod pritiskom u potpuno ispunjenom preseku. Skok pocinje neposredno iza ustave, u preseku (s), gde je dubina vode hs=0.4m.
Za zadati proticaj (Q=10m3/s) sracunati pijezometarsku kotu Pn u preseku (n) gde se zavrsava vrtlozenje hidraulickog skoka, i kotu Po u preseku (o), ispred zatvaraca. Pretpostavlja se da izgubljena energija od preseka (o) do preseka (s) iznosi 10% kineticke energije u preseku (s).
*         *         *
R_XXIV3B.png
b. Pijezometarska kota Pn je za 0.50m visa od odgovaraju\'ce kote sracunate pod (a). Sracunati kotu Po i dubinu hu neposredno iza zatvaraca (gde vlada hidrostaticka raspodela pritisaka).
Polozaj ustave je isti kao u prvom delu zadatka (pod a). Stoga je ista debljina (hs=0.4m) mlaza koji prodire. Takodje je isti i proticaj (Q=10m3/s).
*         *         *
Objasniti tesko\'ce koje nastaju u racunu skoka (odredjivanje Pn uz poznato hs i Q) ako je cev nagnuta.
XXV
Zadatak 1.
R_XXV_1.png
                                                       
U kanalu pravougaonog poprecnog preseka (sirina = b) tecenje je turbulentno, ustaljeno i jednoliko. Dubina vode je h.
Ustaljeno i jednoliko treba shvatiti u smislu uobicajenom za turbulentne struje: Parcijalni izvodi po vremenu i po x1, svih osrednjenih velicina (pa i osrednjenih proizvoda fluktuacionih velicina) su jednaki nuli. Glavno strujanje je pravolinijsko i paralelno: brzine su [`(u1)]=[`u], [`(u2)]=[`(u3)]=0.
I Primena jednacine mehanicke enerije za glavno strujanje, napisana sa (53-25) u knjizi, na posmatranom primeru dovodi do izostavljanja nekih clanova. Uz svaki od tih clanova dati objasnjenje zasto su jednaki nuli.
II Poslednji clan navedene jednacine koji se odnosi na "motorni rad napona turbulencije" izraziti kao "ukupni rad" smanjen za "deformacioni". Potom pokazati da se rad sile tezine trosi na "deformacioni rad" koji se naziva i "produkcija" turbulentne energije. U postupku pretpostaviti da je rad devijatorskih napona (koji deluju posredstvom viskoznosti) zanemarljiv u odnosu na "napon turbulencije" ([`(sijd)] << sijt).
III "Produkciju" turbulentne energije u jedinici vremena napisati da se pojavljuju osrednjene i fluktuacione brzine i pri tome koristiti indekse (1, 2, 3), a ne uopstene (i, j), i izostaviti clanove koji su u posmatranom primeru jednaki nuli.
IV Za elementarnu zapreminu uzeti dV=dA L1, gde je dA elementarni deo povrsine poprecnog preseka, a L1 rastojanje izmedju preseka I i II (vidi sliku). Za sve takve elementarne zapremine -Z/x1=I=const, gde je I nagib dna (vidi ponovo sliku). U ovom slucaju izgubljena energija Eizg (po jedinici tezine) jednaka je spustanju dna DZ. Pokazati da je
EizggQ = Prod.
gde je g = specificna tezina, Q = proticaj, Prod "produkcija" turbulentne energije u zapremini V izmedju preseka I i II u jedinici vremena.
V Koris\'cenjem jednacine mehanicke energije u fluktuacijama, napisana sa (53-32) u knjizi, pokazati da se "produkcija turbulentne energije" (ono sto je iz glavnog strujanja preslo u fluktuacije) trosi na deformacioni rad devijatorskih napona u fluktuacijama gde se posredstvom viskoznosti energija pove\'cava toplotnu energiju.
Zadatak 2.
R_XXV_2.png
Naizmenicno se smenjuju nepropusni slojevi (svaki debljine c) i procepi (debljine h). Kao "koeficijent poroznosti" moze se uzeti
n=  h
h+c
Prosecna brzina strujanja kroz procepe (v) moze se analiticki izraziti. To je ustaljeno, laminarno, pravolinijsko, paralelno i ravansko strujanje, izmedju dve paralelne ploce.
Na zadati primer moze se primeniti i Darsijev zakon filtracije:
w=K IP
w = brzina filtracije, IP = nagib pijezometarske linije, K = koeficijent filtracije.
Odnos prosecne brzine strujanja vs i brzine filtracije w je vs/w=1/n.
Napisati izraz za koeficijent filtracije K sa kojim se moze racunati prikazani primer.
Zadatak 3.
R_XXV_3.png
U kruznoj cevi konstantnog precnika (2r), pravolinijski postavljenoj, koja se, u posmatranom slucaju, ponasa kao glatka, obrazuje se uz zid laminarni (viskozni) podsloj debljine dc, gde se obicno pretpostavlja:
a) raspored brzina (brzina u=u1 u funkciji rastojanja od zida x2)
 u
uc
 =  x2
dc
b) Re - broj sa brzinom uc na granici podsloja (x2=dc), i sa debljinom sloja dc je konstantan
 ucdc
n
 @ 100
I Posmatra se deformacioni rad, u jedinici vremena, u podsloju, a na proizvoljnoj duzini L1 cevi (to je u zapremini Vd=dc2pr L1. Zapremina se moze napisati tako, jer je d << r). Pokazati da je taj rad jednak:
= 10   æ
Ö
 t3
r
 
 pD L1     (I)
t = napon trenja izmedju fluida i zida cevi
r = gustina.
II U Hidraulici se izrazava "izgubljena energija po jedinici tezine" izmedju dva preseka. Neka to, izmedju preseka na medjusobnom rastojanju L1 (u posmatranoj cevi) iznosi Eizg.
Mnozenjem Eizg sa gQ (g = specificna tezina, Q = proticaj) dobi\'ce se "izgubljena energija" u jedinici vremena za celu zapreminu [ 1/4]pD2 L1=Vo. Zasto? Pokazati da to mnozenje daje rezultat
= tpD v L1     (II)
gde je v = srednja brzina u cevi [ Q/(pD2/4)].
III Objasniti da odnos (I)/(II) znaci deo izgubljene energije u podsloju, u odnosu na izgubljenu energiju u celoj struji. Sracunati taj odnos ako je koeficijent trenja u cevi l = 0.02 [l = [(Eizg)/(v2/2g)][ D/L]]. Ako taj odnos nije zanemarljiv, u odnosu na jedinicu (a to \'ce se dobiti), da li to znaci da na otpor trenja uticaj viskoznosti nije zanemarljiv? Prime\'cuje se da je u pitanju glatka cev.


File translated from TEX by TTH, version 3.31.
On 16 Apr 2003, 08:13.